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Exercice Première Spécialité - 2023 - Ex 2 : Trigonométrie et Géométrie Appliquée

1 juin 2023 Troisième (Brevet)

Révise la Trigonométrie avec un cas concret ! ☀️

Prêt à passer au niveau supérieur en géométrie ? Cet exercice tiré du sujet Polynésie 2023 est parfait pour maîtriser le Théorème de Pythagore et la Trigonométrie dans un contexte réel d'ingénierie durable. 🔋

  • ✅ Apprends à modéliser une structure réelle en triangles rectangles.
  • ✅ Maîtrise les arrondis et les conversions d'unités sans erreur.
  • ✅ Développe ta logique financière avec le calcul de budget matériaux.

Idéal pour les élèves de Première Spécialité souhaitant consolider leurs bases géométriques avec dynamisme ! 🚀

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Ajouté par Galilee .ac le mardi 27 janvier 2026, 12:16.
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Analyse de l'énoncé

Cet exercice propose une mise en situation concrète autour de l'installation de panneaux photovoltaïques. Bien que le support soit un objet physique tridimensionnel, l'analyse se ramène à l'étude de figures planes, principalement des triangles rectangles. Le candidat doit mobiliser ses connaissances sur le théorème de Pythagore pour le calcul des longueurs, ainsi que sur la trigonométrie pour déterminer les angles d'inclinaison et les rapports de proportionnalité dans des triangles semblables ou via les relations tangentes.

Points de vigilance et notions requises

  • Unités : L'énoncé mélange millimètres (mm) pour les panneaux, centimètres (cm) pour les équerres et mètres (m) pour les barres latérales. La première étape cruciale est l'harmonisation des unités (10 mm = 1 cm ; 100 cm = 1 m).
  • Modélisation géométrique : Il faut identifier que le triangle HPS est rectangle en P. Cela permet d'utiliser les relations trigonométriques classiques (SOH CAH TOA) et le théorème de Pythagore.
  • Arrondis : L'énoncé impose des arrondis précis (au millimètre, soit une décimale pour une mesure en cm). Un arrondi prématuré dans les calculs intermédiaires peut fausser le résultat final.

Correction Détaillée

1. Vérification de la longueur du support

Dans le triangle HPS rectangle en P, d'après le théorème de Pythagore :
HS² = HP² + PS²
HS² = 90² + 140² = 8100 + 19600 = 27700
HS = √27700 ≈ 166,433 cm.
Arrondi au millimètre, HS est bien égale à 166,4 cm.

2. Conformité du support

La longueur du panneau est de 1700 mm, soit 170 cm. Le fabricant conseille HS ≥ 95% de 170 cm.
Calcul : 0,95 × 170 = 161,5 cm.
Comme 166,4 cm > 161,5 cm, le support est conforme aux recommandations.

3. Optimisation de l'inclinaison

Dans le triangle HPS rectangle en P :
tan(HSP) = opposé / adjacent = HP / PS = 90 / 140 ≈ 0,6428.
En utilisant la touche Arctan ou tan⁻¹, on obtient l'angle HSP ≈ 32,73°.
L'angle étant compris entre 30° et 35°, le fonctionnement sera optimal.

4. Calcul de la barre de renfort ST

Dans le triangle UTS rectangle en T, l'angle S reste identique (32,73°). On connaît l'opposé UT = 50 cm.
tan(HSP) = UT / ST => ST = UT / tan(HSP) = 50 / (90/140) = 50 × 140 / 90 = 700 / 9 ≈ 77,77... cm.
La longueur ST arrondie au millimètre est 77,8 cm.

5. Calcul du budget

Calculons la longueur totale de tube nécessaire pour l'ensemble du support :
• Pour une équerre : HP + PS + HS + UT = 90 + 140 + 166,4 + 50 = 446,4 cm.
• Pour 3 équerres : 446,4 × 3 = 1339,2 cm.
• Pour les 3 barres latérales : 400 cm × 3 = 1200 cm.
• Total : 1339,2 + 1200 = 2539,2 cm, soit 25,392 m.
Nombre de tubes de 4,5 m nécessaires : 25,392 / 4,5 ≈ 5,64. Il faut donc acheter 6 tubes.
Budget : 6 × 37 € = 222 €.