Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet 2023 pour les centres étrangers, porte sur la modélisation de situations réelles à l'aide de fonctions. Bien que le contexte soit celui du brevet, il mobilise des compétences fondamentales de la classe de Première Spécialité : la maîtrise des fonctions affines (cas particulier des polynômes de degré 1) et l'interprétation graphique d'un modèle mathématique.

Points de vigilance et notions requises

• Proportionnalité : Savoir qu'une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par une droite passant par l'origine ($y = ax$).
• Fonctions Affines : Identifier la forme $f(x) = ax + b$, où $b$ représente l'ordonnée à l'origine (ici les frais fixes).
• Résolution d'équations : Savoir comparer deux modèles en résolvant l'équation $f(x) = g(x)$ pour trouver le point d'équilibre.

Correction détaillée

1. Étude du tarif A :
a. Pour 2 heures, on lit graphiquement l'ordonnée correspondant à l'abscisse 2 : le prix est de 60 €.
b. Avec 100 €, on cherche l'abscisse pour $y = 100$. On trouve un peu plus de 3 heures. Pour un nombre entier d'heures, on peut louer 3 heures.
c. La courbe est une droite passant par l'origine, ce qui caractérise une situation de proportionnalité.
d. Le coefficient de proportionnalité est $30$ ($60/2 = 30$). Pour 10 heures : $10 \times 30 = 300$ €.

2. Étude du tarif B :
a. $15 \times 2 + 60 = 30 + 60 = 90$. Le prix est bien de 90 €.
b. La droite part du point $(0; 60)$ et passe par $(2; 90)$.
c. Le prix n'est pas proportionnel car la droite ne passe pas par l'origine ($f(0) = 60 \neq 0$).

3. Comparaison :
a. Pour 3 heures : Tarif A = $3 \times 30 = 90$ € ; Tarif B = $15 \times 3 + 60 = 105$ €. La société A est la moins chère (90 €).
b. On résout $30x = 15x + 60 \Rightarrow 15x = 60 \Rightarrow x = 4$. Le prix est identique pour 4 heures de location.