Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet de Septembre 2023, mobilise des compétences transversales essentielles pour un élève de Première Spécialité. Bien que le contexte soit celui du transport (funiculaire), les concepts mathématiques sous-jacents traitent de la gestion de données numériques (tableaux de tarifs), de la conversion d'unités de temps pour le calcul de vitesse, et de la géométrie appliquée à travers la notion de pente.

Points de vigilance et notions de cours

• Lecture de données : Il est crucial de distinguer les tarifs 'Aller simple' des tarifs 'Aller-retour' et de vérifier si le groupe atteint le seuil de 20 personnes (ici 12 + 8 = 20, le tarif groupe s'applique donc).
• Conversions temporelles : Pour calculer une vitesse en m/s, il faut impérativement convertir le temps 8 min 45 s en secondes totales : $t = (8 \times 60) + 45$.
• Géométrie et Pente : La pente est définie ici comme le rapport entre la dénivelée (côté opposé) et la longueur horizontale (côté adjacent). C'est une application directe de la tangente dans un triangle rectangle.

Correction détaillée

1. Analyse des tarifs :

• a) Tarif individuel : 12 adultes à 10 € (120 €) et 8 enfants à 8 € (64 €). Total = $120 + 64 = 184$ euros.
• b) Tarif de groupe : 12 adultes à 8,50 € (102 €) et 8 enfants à 7 € (56 €). Total = $102 + 56 = 158$ euros.
• c) Pourcentage de réduction : Valeur de la réduction = $184 - 158 = 26$ €. Taux = $\frac{26}{184} \times 100 \approx 14,13\%$.

2. Calcul de la vitesse moyenne :

Le temps total est de $8 \times 60 + 45 = 525$ secondes. La distance parcourue est de $448,5$ m. La vitesse $v$ est donnée par $v = \frac{d}{t} = \frac{448,5}{525} \approx 0,85$ m/s.

3. Calcul de la longueur horizontale AC :

Selon la définition fournie : $\text{Pente} = \frac{\text{BC}}{\text{AC}}$. On a $0,25 = \frac{50}{\text{AC}}$, d'où $\text{AC} = \frac{50}{0,25} = 200$ m.