Analyse de l'exercice et enjeux pédagogiques

Cet exercice, issu du sujet Métropole 2023, se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) balayant plusieurs domaines fondamentaux des mathématiques. Bien qu'issu d'un tronc commun, il sollicite des compétences essentielles pour un élève de Première Spécialité, notamment la manipulation d'expressions algébriques, la vision spatiale et le raisonnement probabiliste. L'absence de justification demandée ne doit pas occulter la rigueur nécessaire pour éviter les pièges classiques, particulièrement sur les signes et les coefficients de puissance.

Points de vigilance et notions clés

• Calcul algébrique : La substitution d'une valeur négative dans un polynôme du second degré ($x^2$) nécessite une attention particulière à la gestion des parenthèses : $(-2)^2 \neq -2^2$.
• Géométrie dans l'espace : Il est crucial de différencier les rapports d'agrandissement pour les longueurs ($k$), les aires ($k^2$) et les volumes ($k^3$).
• Transformations : Comprendre qu'une homothétie de rapport négatif traduit une situation de 'nœud papillon' (ou retournement) par rapport au centre.

Correction détaillée et guide de résolution

Question 1 : On cherche les diviseurs de 84. La réponse A propose des multiples. La réponse C contient 5, qui n'est pas un diviseur (84 ne finit ni par 0 ni par 5). La réponse B est correcte car 84 est pair (divisible par 2), la somme de ses chiffres est 12 (divisible par 3) et ses deux derniers chiffres forment 84 (divisible par 4). Réponse B.

Question 2 : Lors d'un agrandissement de coefficient $k=2$, le volume est multiplié par $k^3$. Ainsi, $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$. Réponse B.

Question 3 : Pour $x = -2$, l'expression $x^2 + 3x - 5$ devient $(-2)^2 + 3(-2) - 5$. Calculons par étapes : $4 - 6 - 5 = -2 - 5 = -7$. Réponse C.

Question 4 : Les boules sont numérotées de 1 à 8. Les multiples de 2 sont {2, 4, 6, 8}, soit 4 issues favorables sur 8. La probabilité est $4/8 = 1/2$. Réponse A.

Question 5 : Le triangle DEF est de l'autre côté du centre O par rapport au triangle ABC, donc le rapport est négatif. Les dimensions de DEF semblent être le double de celles de ABC. Le rapport est donc $-2$. Réponse A.