Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2015, mobilise des compétences fondamentales de géométrie plane et de raisonnement logique essentielles en Première Spécialité. Le problème nous demande d'évaluer la faisabilité d'un découpage : insérer deux triangles rectangles isocèles identiques (hypoténuse de 15 cm) dans un carreau carré de 12 cm de côté. L'enjeu est de traduire les contraintes géométriques en mesures comparables (longueurs des côtés ou diagonales).
Points de vigilance et notions requises
- Théorème de Pythagore : Indispensable pour lier la longueur de l'hypoténuse à celle des côtés de l'angle droit.
- Propriétés du triangle rectangle isocèle : Savoir que deux triangles de ce type, joints par leur hypoténuse, forment un carré.
- Visualisation spatiale : Comprendre comment optimiser l'espace dans le carré de 12x12 cm.
Guide de résolution détaillé
Pour résoudre ce problème, suivons une démarche analytique :
1. Calcul des côtés des triangles
Soit $a$ la longueur des côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle isocèle. D'après le théorème de Pythagore, nous avons :
$a^2 + a^2 = 15^2$
$2a^2 = 225$
$a^2 = 112,5$
$a = \sqrt{112,5} \approx 10,61$ cm.
2. Analyse de l'assemblage
Le décorateur doit découper deux de ces triangles. Si nous assemblons ces deux triangles rectangles isocèles par leur hypoténuse, nous obtenons un carré de côté $a \approx 10,61$ cm. L'hypoténuse de 15 cm devient alors la diagonale de ce nouveau carré.
3. Comparaison avec le carreau de carrelage
Le carreau disponible est un carré de 12 cm de côté. Puisque le côté du carré formé par les deux triangles ($10,61$ cm) est inférieur au côté du carreau de carrelage (12 cm), il est tout à fait possible de placer ce carré de 10,61 cm de côté à l'intérieur du carreau de 12 cm. Les triangles rectangles isocèles d'hypoténuse 15 cm tiennent donc largement dans le carreau de 12 cm.
Conclusion
Les carreaux de 12 cm de côté sont assez grands. En effet, un seul de ces triangles tient dans un carré de $10,61 \times 10,61$ cm, et l'assemblage de deux triangles forme précisément ce carré, qui rentre sans difficulté dans la surface de $12 \times 12$ cm disponible.