Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, issu du sujet Étrangers 2023, est un excellent support pour réviser deux piliers des mathématiques : les probabilités discrètes et l'arithmétique. Bien que positionné à un niveau intermédiaire, il mobilise des compétences fondamentales pour un élève de Première Spécialité, notamment la manipulation de l'indépendance des événements lors de tirages avec remise et la maîtrise de la décomposition en produits de facteurs premiers.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cette épreuve, plusieurs notions doivent être parfaitement acquises :

• L'univers et l'équiprobabilité : Identifier correctement le nombre d'issues totales (7 boules au total).
• Tirages successifs avec remise : Comprendre que les probabilités se multiplient et que l'ordre des tirages peut importer selon la formulation de la question.
• Arithmétique : Savoir utiliser les critères de divisibilité et la méthode de décomposition pour trouver le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) dans un contexte concret de partage.

Correction détaillée

Partie A : Étude du jeu

1. a) L'urne contient 7 boules au total (3 noires + 4 rouges). Il y a 4 boules rouges. La probabilité de tirer une boule rouge est donc $P(R) = \frac{4}{7}$.

1. b) Les numéros pairs disponibles sont : le 2 (noir), le 2 (rouge) et le 4 (rouge). Cela fait 3 boules. La probabilité est donc $P(Pair) = \frac{3}{7}$.

2. Le jeu consiste en deux tirages avec remise. L'univers comporte $7 \times 7 = 49$ issues équiprobables. Pour gagner, il faut tirer la boule rouge n°1 (notée $R1$) et une boule noire (notée $N$). Les combinaisons gagnantes sont : $(R1, N1), (R1, N2), (R1, N3)$ et $(N1, R1), (N2, R1), (N3, R1)$. Il y a donc 6 issues favorables. La probabilité de gagner est $P(Gagner) = \frac{6}{49}$.

Partie B : Constitution des lots

1. Pour faire 3 lots, il faut que 195 et 234 soient divisibles par 3. La somme des chiffres de 195 est $1+9+5=15$ (multiple de 3). La somme de 234 est $2+3+4=9$ (multiple de 3). Il est donc possible de faire 3 lots identiques.

2. Décomposition de 195 : $195 = 5 \times 39 = 5 \times 3 \times 13 = 3 \times 5 \times 13$.

3. a) Pour trouver le nombre maximal de lots, on cherche le PGCD de 195 et 234. On compare les décompositions : $195 = 3 \times 5 \times 13$ et $234 = 2 \times 3^2 \times 13$. Les facteurs communs sont $3$ et $13$. Le PGCD est $3 \times 13 = 39$. On peut constituer au maximum 39 lots.

3. b) Composition de chaque lot : Figurines : $195 / 39 = 5$. Autocollants : $234 / 39 = 6$. Chaque lot contiendra 5 figurines et 6 autocollants.