Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet Amérique du Nord 2023, constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité. Bien que structuré autour de situations indépendantes, il mobilise des automatismes cruciaux pour la réussite du cycle terminal : l'arithmétique de base, la gestion des probabilités simples, le développement d'expressions du second degré et la maîtrise des grandeurs et mesures. En Spécialité Mathématiques, la rapidité d'exécution sur ce type de questions libère une charge cognitive précieuse pour les problèmes de synthèse complexes.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs rappels théoriques sont nécessaires :
- Arithmétique : La décomposition en facteurs premiers repose sur la connaissance des critères de divisibilité (par 2, 3, 5).
- Probabilités : L'utilisation de la formule de l'union $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ est indispensable pour ne pas compter deux fois l'intersection (ici, le roi de cœur).
- Calcul Littéral : La double distributivité $(a+b)(c+d)$ est le socle de l'étude des fonctions polynômes du second degré.
- Géométrie : Il faut distinguer le coefficient d'agrandissement linéaire ($k$) de celui des aires ($k^2$) et des volumes ($k^3$).
Correction détaillée
Situation 1 : Pour décomposer 780, on procède par étapes : $780 = 78 \times 10 = (2 \times 39) \times (2 \times 5) = 2 \times (3 \times 13) \times 2 \times 5$. En ordonnant, on obtient : $780 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 13$.
Situation 2 : a. Il y a une seule carte '8 de pique' dans un jeu de 32, soit $P = 1/32$. b. Il y a 4 rois et 8 cœurs. Attention, le roi de cœur est compté dans les deux groupes. Nombre de cartes favorables : $4 + 8 - 1 = 11$. La probabilité est donc $11/32$.
Situation 3 : Développement de $A = (2x + 5)(3x - 4) = 6x^2 - 8x + 15x - 20$. Après réduction, on obtient l'expression polynomiale : $A = 6x^2 + 7x - 20$.
Situation 4 : a. L'aire de la base (triangle rectangle) est $(80 \times 60) / 2 = 2400$ cm². Le volume est $Aire_{base} \times hauteur = 2400 \times 120 = 288\,000$ cm³. b. Comme $1$ dm³ = $1000$ cm³, $288\,000$ cm³ = $288$ dm³, soit $288$ Litres.
Situation 5 : Le coefficient d'agrandissement est $k = 3$. L'aire est multipliée par $k^2 = 3^2 = 9$. Aire du polygone 2 = $11 \times 9 = 99$ cm².