Analyse de l'épreuve et enjeux pédagogiques

Cet exercice, issu du sujet Asie 2023, se présente sous la forme d'un QCM (Questionnaire à Choix Multiples) couvrant un large spectre de compétences fondamentales. Pour un élève de Première Spécialité, ce type d'exercice constitue un excellent test de diagnostic pour vérifier la solidité des automatismes acquis les années précédentes. Bien que les notions paraissent simples, elles sont les piliers sur lesquels reposent des chapitres complexes comme les probabilités conditionnelles ou l'étude de fonctions dérivées.

Points de vigilance et notions clés

• Probabilités : Attention à bien identifier l'univers total (l'effectif global) avant de calculer la fréquence théorique.
• Transformations géométriques : Dans le cas d'une homothétie, il est crucial de repérer le centre et de calculer le rapport $k$ en comparant les longueurs homologues (Longueur finale / Longueur initiale).
• Calcul de pourcentages : La distinction entre taux d'évolution et coefficient multiplicateur doit être immédiate : $CM = 1 + \frac{t}{100}$.
• Trigonométrie : Le choix entre sinus, cosinus et tangente dépend exclusivement des données connues (côté adjacent, opposé ou hypoténuse).

Correction détaillée et Guide de résolution

Question 1 : L'urne contient au total $2 + 3 + 3 = 8$ billes. Il y a 2 billes rouges. La probabilité est donc de $\frac{2}{8} = \frac{1}{4}$. Réponse B.

Question 2 : Augmenter une valeur de $25\%$ revient à appliquer le calcul $V_i \times (1 + \frac{25}{100}) = V_i \times 1,25$. Le coefficient multiplicateur est donc 1,25. Réponse A.

Question 3 : On observe que le triangle 2 est un agrandissement du triangle 1. Le centre de la transformation est le point D. La base du triangle 1 mesure 2 unités, celle du triangle 2 mesure 6 unités. Le rapport est de $\frac{6}{2} = 3$. Puisque la figure n'est pas retournée par rapport au centre, le rapport est positif. Réponse C.

Question 4 : La fonction est de la forme $f(x) = ax + b$ avec $a = -7$ et $b = -9$. Puisque $b$ n'est pas nul, elle n'est pas linéaire, mais elle est bien affine. Réponse A.

Question 5 : Un milliard vaut $10^9$ et un kilomètre vaut $10^3$ mètres. Ainsi, $9461$ milliards de km = $9461 \times 10^9 \times 10^3 = 9461 \times 10^{12} = 9,461 \times 10^{15}$ mètres. Réponse A.

Question 6 : Dans le triangle ABC rectangle en A, nous connaissons l'hypotenuse $BC = 5$ cm et l'angle $\widehat{B} = 30^{\circ}$. Nous cherchons le côté adjacent AB. On utilise le cosinus : $\cos(30^{\circ}) = \frac{AB}{5}$, d'où $AB = 5 \times \cos(30^{\circ})$. Réponse B.