Analyse de l'exercice

Cet exercice, issu du sujet Nouvelle-Calédonie 2021, se présente sous la forme d'un Vrai/Faux avec justification. Bien que les thèmes abordés soient des prérequis de fin de collège et début de lycée, ils constituent le socle indispensable pour la Première Spécialité. On y retrouve du calcul numérique, de la résolution d'équations, de la géométrie dans l'espace, de la trigonométrie et une introduction au dénombrement.

Points de vigilance et notions requises

• Trigonométrie : Bien identifier les côtés opposé et adjacent par rapport à l'angle recherché (formule de la tangente).
• Géométrie : Attention à la confusion classique entre diamètre et rayon pour le calcul du volume de la boule.
• Dénombrement : Utiliser le principe multiplicatif pour dénombrer les combinaisons de codes.
• Précision : Respecter scrupuleusement les consignes d'arrondi à l'unité près.

Correction détaillée

Affirmation 1 : Faux. 50 % de 10 350 revient à diviser par 2. Or, 10 350 / 2 = 5 175, ce qui est différent de 10 300.

Affirmation 2 : Vrai. On simplifie la fraction 42/18. En divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (qui est 6), on obtient : 42 ÷ 6 = 7 et 18 ÷ 6 = 3. La fraction 7/3 est bien irréductible car 7 et 3 sont des nombres premiers entre eux.

Affirmation 3 : Vrai. Remplaçons x par 3 dans l'équation. Membre de gauche : 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2. Membre de droite : -3 + 5 = 2. Les deux membres sont égaux, donc 3 est bien la solution.

Affirmation 4 : Faux. Le rayon R de la boule est 21,6 / 2 = 10,8 cm. Le volume V = (4/3) * π * 10,8³ ≈ 5 276,7 cm³. L'affirmation proposait 42 213, ce qui est erroné.

Affirmation 5 : Vrai. Dans le triangle DNB rectangle en B, on a tan(DNB) = opposé / adjacent = BD / BN = 4 / 12 = 1/3. À l'aide de la calculatrice, arctan(1/3) ≈ 18,43°, ce qui donne 18° une fois arrondi à l'unité.

Affirmation 6 : Faux. Pour le premier chiffre, il y a 3 choix (1, 2 ou 3). Pour le deuxième chiffre, il y a également 3 choix. Pour le dernier, il n'y a qu'un choix (le chiffre 6). Le nombre total de codes est 3 * 3 * 1 = 9 codes, et non 6.