Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2021, propose une étude concrète de la sécurité routière à travers trois types de modélisations mathématiques : une approche graphique pour la distance de réaction (fonction linéaire), une approche algébrique pour la distance de freinage (fonction du second degré) et une synthèse pour la distance d'arrêt totale. Pour un élève de Première Spécialité, cet exercice permet de consolider les bases de la modélisation fonctionnelle et de l'usage des outils numériques (tableurs).
Points de vigilance et notions requises
- Proportionnalité : Reconnaître graphiquement une situation de proportionnalité par une droite passant par l'origine.
- Calcul de fonction : Manipulation d'expressions de la forme $f(v) = kv^2$. Bien que simple, la structure préfigure l'étude des polynômes du second degré.
- Outil numérique : Maîtrise des références de cellules (B1, B2) et des opérateurs de puissance dans un tableur.
Correction détaillée
Partie 1 : Distance de réaction
1. La représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère. Il s'agit donc d'une situation de proportionnalité. En termes de fonctions, cela correspond à une fonction linéaire de type $d(v) = k imes v$.
2. Par lecture graphique :
- Pour une vitesse de 0 km/h, la distance de réaction est de 0 m.
- Pour une distance de réaction de 15 m, on trouve une vitesse d'environ 54 km/h.
- Pour une vitesse de 90 km/h, on lit une distance de réaction de 25 m.
Partie 2 : Distance de freinage
1. La formule mathématique est $d = rac{v^2}{203,2}$. Dans un tableur, la vitesse est située en cellule B1. L'opérateur de multiplication est '*' et le carré s'obtient par multiplication de la cellule par elle-même. La formule correcte est donc : = B1*B1/203.2.
2. Pour $v = 90$ km/h : $d = rac{90^2}{203,2} = rac{8100}{203,2} \approx 39,862...$ m. La distance est donc bien d'environ 40 m.
Partie 3 : Distance d'arrêt
La distance d'arrêt est la somme de la distance de réaction et de la distance de freinage. Pour un véhicule roulant à 90 km/h :
- Distance de réaction (trouvée en Partie 1) = 25 m
- Distance de freinage (trouvée en Partie 2) = 40 m
- Distance d'arrêt = $25 + 40 =$ 65 m.
Ouverture vers la Spécialité Première
En Première Spécialité, on pourrait prolonger cet exercice en étudiant la dérivée de la fonction de freinage pour déterminer la variation de la distance en fonction de l'accélération, ou encore en utilisant les suites pour modéliser des freinages successifs.