Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la géométrie dans l'espace, une thématique qui prend une dimension analytique importante en Première Spécialité avec l'introduction des vecteurs de l'espace et du repérage. Ici, l'objectif est de travailler la visualisation spatiale à travers le dénombrement de cubes unités et le calcul de volumes de solides complexes (pavés droits et cubes).
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, il est nécessaire de maîtriser les concepts suivants :
- Dimensions d'un pavé droit : Un pavé droit (ou parallélépipède rectangle) est défini par sa longueur, sa largeur et sa hauteur. Son volume est donné par le produit $V = L \times l \times h$.
- Visualisation 3D : Savoir interpréter une perspective cavalière pour identifier les faces cachées et les dimensions réelles d'un objet.
- Racine cubique : Pour un cube de volume $V$, l'arête $a$ est telle que $a^3 = V$, soit $a = \sqrt[3]{V}$.
Correction détaillée et Guide de résolution
Première partie : Compléter le pavé droit
Pour déterminer le nombre de cubes manquants, il faut d'abord identifier les dimensions du plus petit pavé droit contenant le solide représenté. En observant les points les plus éloignés sur les axes :
- La longueur maximale est de 4 unités.
- La largeur maximale est de 3 unités.
- La hauteur maximale est de 4 unités.
Le volume total du pavé droit cible est donc de $4 \times 3 \times 4 = 48$ cubes unités. En comptant les cubes présents sur la figure (9 cubes visibles et structurels), il manque au minimum : $48 - 9 = 39$ cubes.
Deuxième partie : Assemblage d'un cube
1. Vue de dessus de la pièce n°4 : La pièce n°4 est un assemblage en L ou décalé. La vue de dessus consiste à projeter les cubes sur le plan horizontal. Le dessin doit représenter les carrés vus d'en haut avec une échelle de 2 cm pour 1 dm (arête d'un cube).
2. Volume et arête du grand cube :
- Volume : On additionne le nombre de cubes de chaque pièce. Pièce 1 (3 cubes) + 6 pièces de 4 cubes = $3 + (6 \times 4) = 3 + 24 = 27$ cubes. Chaque cube ayant une arête de 1 dm, son volume est de 1 dm³. Le volume total est donc de 27 dm³.
- Arête : Soit $a$ la longueur de l'arête du grand cube. On a $a^3 = 27$. Comme $3 \times 3 \times 3 = 27$, l'arête du cube mesure 3 dm.