Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet Asie 2021, se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) composé de six questions indépendantes. Bien que les thèmes abordés semblent basiques, ils constituent les piliers de l'analyse en Première Spécialité Mathématiques : manipulation de fonctions, résolution d'équations quadratiques et propriétés des puissances. La particularité de cet énoncé est l'exigence de justification, une compétence cruciale pour les épreuves de spécialité au baccalauréat.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir ce type d'exercice, plusieurs notions doivent être maîtrisées parfaitement :

• Arithmétique : Distinguer les notions de diviseurs et de multiples. Un nombre d est un diviseur de n si le reste de la division euclidienne de n par d est nul.
• Fonctions : Calculer une image nécessite de remplacer la variable x dans l'expression algébrique. Attention aux parenthèses lors de la manipulation de nombres négatifs (ex: $(-2)^2 = 4$).
• Second degré : L'équation de type $x^2 = a$ possède deux solutions réelles si $a > 0$ : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$.
• Puissances : La règle $a^n \times a^m = a^{n+m}$ est ici fondamentale.

Guide de résolution détaillé

Question 1 : On cherche un diviseur de 126. 252 est un multiple ($126 \times 2$). 20 ne divise pas 126. En testant 6, on trouve $126 / 6 = 21$. La réponse correcte est la C.

Question 2 : Avec $f(x) = x^2 - 2$, calculons $f(0)$. $f(0) = 0^2 - 2 = -2$. L'image de 0 est donc -2. La réponse correcte est la C.

Question 3 : Dans un tableur, étirer une formule de A2 vers B2 change la référence de cellule de A1 vers B1. La formule en B2 devient donc $-5 \times \text{B}1^2 + 2 \times \text{B}1 - 14$. Avec B1 = -3, on calcule : $-5(-3)^2 + 2(-3) - 14 = -5(9) - 6 - 14 = -45 - 20 = -65$. La réponse correcte est la A.

Question 4 : L'équation $x^2 = 16$ équivaut à $x = \sqrt{16}$ ou $x = -\sqrt{16}$, soit $x = 4$ ou $x = -4$. La réponse correcte est la B.

Question 5 : $2 \times 2^{400}$ peut s'écrire $2^1 \times 2^{400}$. En utilisant les propriétés des exposants, on obtient $2^{1+400} = 2^{401}$. La réponse correcte est la A.

Question 6 : Le ratio 16:9 signifie que $\frac{\text{Largeur}}{\text{Hauteur}} = \frac{16}{9}$. Avec une hauteur de 54 cm, on a : $\text{Largeur} = \frac{16}{9} \times 54 = 16 \times 6 = 96$ cm. La réponse correcte est la B.