Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur les propriétés fondamentales des polygones réguliers. Un polygone est dit régulier si tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles intérieurs la même mesure. Dans ce contexte, tous les sommets se situent sur un cercle de centre $O$. L'enjeu principal est de comprendre la relation entre le nombre de côtés $n$ et l'angle au centre $\widehat{AOB}$.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser deux concepts clés :

• L'angle au centre : La somme des angles autour du point $O$ est de $360^{\circ}$. Pour un polygone régulier à $n$ côtés, l'angle au centre est donné par la formule : $\alpha = \frac{360}{n}$.
• L'angle au sommet : L'angle intérieur d'un polygone régulier est donné par $\frac{(n-2) \times 180}{n}$. Alternativement, on peut utiliser le fait que l'angle au sommet et l'angle au centre d'un triangle isocèle formé par deux rayons et un côté sont liés.

Correction détaillée

1. Analyse des polygones

a. Le carré ($n=4$) : Un carré possède 4 côtés égaux. L'angle au centre $\widehat{AOB}$ se calcule en divisant un tour complet par 4 : $\frac{360}{4} = 90^{\circ}$. C'est pourquoi l'angle est droit.

b. Le pentagone ($n=5$) : Un pentagone régulier possède 5 côtés égaux. L'angle au centre est $\frac{360}{5} = 72^{\circ}$.

c. L'hexagone ($n=6$) : Pour l'hexagone régulier, nous divisons par 6 : $\widehat{AOB} = \frac{360}{6} = 60^{\circ}$. À noter que dans un hexagone régulier, le triangle $AOB$ est équilatéral.

2. Calcul du périmètre pour un angle de sommet 140°

Soit $n$ le nombre de côtés du polygone. On sait que l'angle au sommet mesure $140^{\circ}$. Utilisons la formule de l'angle intérieur :

$\frac{(n-2) \times 180}{n} = 140$

En multipliant par $n$ de chaque côté : $180(n-2) = 140n$.
$180n - 360 = 140n$
$180n - 140n = 360$
$40n = 360$
$n = \frac{360}{40} = 9$.

Le polygone est donc un ennéagone (9 côtés). Chaque côté mesurant 5 cm, le périmètre $P$ est :
$P = 9 \times 5 = 45\text{ cm}$.