Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet (DNB 2021), constitue un excellent test de diagnostic pour un élève de Première Spécialité. Il mobilise des compétences transversales essentielles : la gestion des ordres de grandeur, l'arithmétique élémentaire (décomposition en facteurs premiers) et la géométrie de configuration. En Première, la maîtrise de l'arithmétique est un prérequis pour aborder certains algorithmes en Python ou les suites numériques, tandis que la géométrie plane sert de fondation à la géométrie repérée et au produit scalaire.
Points de vigilance et notions requises
- Arithmétique : Savoir décomposer un entier en produit de facteurs premiers est crucial. Il faut se souvenir des critères de divisibilité simples (par 2, 3, 5, 9).
- Géométrie : L'identification d'une configuration de Thalès est immédiate ici grâce aux alignements de points et à la verticalité (qui implique le parallélisme). Attention à bien calculer la longueur totale AC ($AD + DC$).
- Rigueur : En Première, on attend une rédaction structurée, notamment pour justifier le parallélisme par la propriété des droites perpendiculaires à une même troisième.
Correction Détaillée
1. Calcul de différence
Pour atteindre 2 millions à partir de 1,9 million : $2\,000\,000 - 1\,900\,000 = 100\,000$. Il aurait fallu 100 000 visiteurs supplémentaires.
2. Analyse de moyenne journalière
En 2019 (année non bissextile), il y a 365 jours. Moyenne = $1\,900\,000 / 365 \approx 5205,48$. L'affirmation est donc vraie, car elle est proche de 5 200.
3. Arithmétique et Groupes
- Décomposition : $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ et $90 = 2 \times 3^2 \times 5$.
- Diviseurs communs : En listant les combinaisons des facteurs communs ($2$ et $3^2$), on obtient : 1, 2, 3, 6, 9, 18.
- Plus grand nombre de groupes : Il s'agit du PGCD, soit 18 groupes. Chaque groupe contiendra $126 / 18 = 7$ garçons et $90 / 18 = 5$ filles.
4. Géométrie (Théorème de Thalès)
Les droites (ED) et (BC) sont perpendiculaires à la droite (AC), elles sont donc parallèles. Les points A, D, C et A, E, B sont alignés. D'après le théorème de Thalès :
$\frac{AD}{AC} = \frac{DE}{BC}$
Ici, $AD = 2$ et $AC = AD + DC = 2 + 54,25 = 56,25$.
On a donc : $\frac{2}{56,25} = \frac{1,60}{BC}$
$BC = \frac{1,60 \times 56,25}{2} = 45$.
La hauteur de la Gyrotour est de 45 mètres.