Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu initialement d'un sujet de brevet, constitue une base fondamentale pour les élèves de Première Spécialité. Il mobilise des compétences essentielles en modélisation algébrique et en résolution de systèmes d'équations. Le problème nous demande de déterminer deux quantités inconnues (le nombre de livres de mathématiques et le nombre de livres de français) à partir de deux contraintes distinctes : le nombre total d'articles et le coût total de la commande. En mathématiques de spécialité, cette capacité à traduire un énoncé textuel en langage symbolique est le socle de l'étude des fonctions et des polynômes.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser plusieurs points techniques :

• Le choix des variables : Il est crucial de définir clairement ce que représentent les lettres choisies (par exemple, x pour les mathématiques et y pour le français).
• La mise en équation : Transformer '30 livres au total' en x + y = 30.
• La gestion des unités : S'assurer que les prix (3000F et 2000F) correspondent bien au montant total (80000F).
• La méthode de résolution : Au choix, la substitution (exprimer une variable en fonction de l'autre) ou la combinaison linéaire.

Correction détaillée et guide de résolution

Soit x le nombre de livres de mathématiques et y le nombre de livres de français commandés. Nous pouvons traduire les données du problème par le système d'équations suivant :

1) x + y = 30 (Equation de quantité)
2) 3000x + 2000y = 80000 (Equation de coût)

Pour simplifier l'équation (2), nous pouvons diviser tous les termes par 1000, ce qui nous donne : 3x + 2y = 80. Nous avons alors un système plus maniable :

• x + y = 30
• 3x + 2y = 80

Utilisons la méthode de substitution. De la première équation, nous tirons y = 30 - x. En remplaçant y dans la deuxième équation, on obtient :
3x + 2(30 - x) = 80
3x + 60 - 2x = 80
x + 60 = 80
x = 20.

Maintenant que nous avons x, calculons y :
y = 30 - 20 = 10.

Conclusion : Le collège a commandé 20 livres de mathématiques et 10 livres de français. Une vérification rapide permet de confirmer le résultat : 20 + 10 = 30 livres, et (20 * 3000) + (10 * 2000) = 60000 + 20000 = 80000 F. La solution est cohérente avec l'énoncé.

Vers la Première Spécialité

En classe de Première, ce type d'exercice peut être prolongé par l'étude des systèmes linéaires via des matrices ou encore par l'introduction de fonctions de coût. Maîtriser le degré 1 est indispensable avant d'aborder le second degré et les polynômes plus complexes.