Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2021, propose une application concrète de la géométrie plane dans un contexte de vie courante (sécurisation de vitres face à un cyclone). Bien qu'il s'agisse initialement d'un niveau fin de collège, son analyse est fondamentale pour un élève de Première Spécialité Mathématiques. En effet, le chapitre de Géométrie repérée repose entièrement sur l'extension du théorème de Pythagore à un repère orthonormé pour calculer la norme d'un vecteur ou la distance entre deux points.
L'exercice demande une transition efficace entre le modèle géométrique (le rectangle et ses diagonales) et le calcul numérique. Il sollicite la capacité de l'élève à extraire des informations d'un schéma, à appliquer une propriété fondamentale et à effectuer des conversions d'unités (cm vers m) tout en gérant une contrainte de stock.
Points de vigilance et notions de cours
- Le Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. C'est la base de la formule de distance d(A,B) en géométrie analytique.
- La gestion des unités : Les dimensions des vitres sont données en centimètres, tandis que la longueur des rouleaux est en mètres. Une erreur de conversion est fatale pour le résultat final.
- Le rounding (arrondi) : L'énoncé demande une précision au cm près dans la première question, ce qui influe sur la justification de la deuxième question.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Détermination de la longueur BI :
Le triangle BAI est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore, nous avons l'égalité suivante :
BI² = BA² + AI²
BI² = 210² + 155²
BI² = 44 100 + 24 025 = 68 125
En prenant la racine carrée : BI = √68 125 ≈ 261,007 cm.
Arrondi au cm près, la longueur BI est de 261 cm.
2. Justification du besoin en adhésif pour une vitre :
Une vitre est un rectangle. Les deux diagonales ont la même longueur. Joanne pose de l'adhésif sur les deux diagonales. La longueur totale pour une vitre est donc :
L = 2 × BI ≈ 2 × 261,007 = 522,014 cm.
Pour convertir en mètres, on divise par 100 : 522,014 / 100 ≈ 5,22014 m.
On en déduit que Joanne a besoin d'environ 5,22 m d'adhésif par vitre.
3. Analyse des ressources disponibles :
Joanne possède 7 rouleaux de 10 m, soit une longueur totale de 7 × 10 = 70 m.
L'immeuble comporte 15 vitres. Le besoin total est de :
Besoin total = 15 × 5,22 = 78,3 m.
Comparaison : 70 m < 78,3 m.
Conclusion : Joanne n'a pas assez d'adhésif pour couvrir toutes les vitres de son immeuble. Il lui manque 8,3 m, soit presque un rouleau complet supplémentaire.