Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une base de révision indispensable pour un élève de Première Spécialité Mathématiques. Il permet de valider des automatismes fondamentaux en algèbre (développement de polynômes), en résolution d'équations du second degré (sous forme factorisée) et en géométrie plane. L'analyse des transformations et le repérage sur une sphère (coordonnées géographiques) préfigurent les notions de géométrie repérée et de trigonométrie du programme de lycée.
Points de vigilance (notions de cours requises)
- Double distributivité : Attention aux signes lors du développement de $(2x - 3)(- 5 + 2x)$. La gestion des signes négatifs est la source d'erreur principale.
- Propriété du produit nul : Un produit de deux facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. C'est la méthode de résolution de base pour les équations de type $(ax+b)(cx+d)=0$.
- Arithmétique : La décomposition en produits de facteurs premiers nécessite de connaître les critères de divisibilité (2, 3, 5, 9, 11).
- Géométrie : Distinguer une translation d'une rotation ou d'une symétrie axiale par l'observation de l'orientation de la figure.
Correction Détaillée et Guide de Résolution
1. Transformations géométriques :
a. Le quadrilatère quad1 est l'image par la transformation numéro 6 (symétrie axiale d'axe DE) car la figure subit un effet miroir.
b. Le quadrilatère quad2 est l'image par la transformation numéro 1 (translation de D vers E) car la figure garde la même orientation et subit un glissement.
c. Le quadrilatère quad3 est l'image par la transformation numéro 2 (rotation de centre A et d'angle 90° dans le sens anti-horaire).
2. Développement algébrique :
L'expression est $E = (2x - 3)(- 5 + 2x) - 4 + 6x$.
$E = [2x imes (-5) + 2x imes 2x - 3 imes (-5) - 3 imes 2x] - 4 + 6x$
$E = [-10x + 4x^2 + 15 - 6x] - 4 + 6x$
$E = 4x^2 - 10x + 11$.
3. Équation produit nul :
$(x - 6)(5x - 2) = 0$ implique :
Soit $x - 6 = 0 \implies x = 6$.
Soit $5x - 2 = 0 \implies 5x = 2 \implies x = rac{2}{5} = 0,4$.
Les solutions sont $S = \{0,4 ; 6\}$.
4. Arithmétique :
a. $1386 = 2 imes 3^2 imes 7 imes 11$ et $1716 = 2^2 imes 3 imes 11 imes 13$.
b. Fraction irréductible : $ rac{1386}{1716} = rac{2 imes 3 imes 3 imes 7 imes 11}{2 imes 2 imes 3 imes 11 imes 13}$. En simplifiant par $2 imes 3 imes 11$, on obtient $ rac{21}{26}$.