Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, initialement proposé dans le cadre du DNB 2021 en Nouvelle-Calédonie, constitue un excellent support de révision pour les élèves de Première Spécialité Mathématiques. Bien que son niveau de difficulté soit accessible, il permet de valider la maîtrise des concepts fondamentaux de la théorie des probabilités avant d'aborder des chapitres plus denses comme les variables aléatoires ou les probabilités conditionnelles.
Points de vigilance et notions de cours
- Le principe de l'équiprobabilité : L'énoncé mentionne que chaque carte a la même chance d'être choisie. C'est la condition sine qua non pour utiliser la formule classique : P(A) = (nombre de cas favorables) / (nombre de cas possibles).
- La lecture de données : Il est crucial de noter que le tableau fourni ne concerne qu'une seule famille de fruits. Le multiplicateur par 4 (pour les 4 familles) est l'étape où beaucoup d'élèves commettent des erreurs d'étourderie.
- L'évènement contraire : Noté non P ou P̄, il se calcule par la relation 1 - P(P). Savoir le formuler en français est aussi important que le calcul mathématique.
Guide de résolution détaillé
1. Dénombrement total des cartes
Pour chaque famille (par exemple banane), on additionne le nombre de cartes indiqué dans la deuxième ligne du tableau : 5 (1 fruit) + 3 (2 fruits) + 3 (3 fruits) + 2 (4 fruits) + 1 (5 fruits) = 14 cartes par famille. Comme le jeu comporte 4 familles identiques, le nombre total de cartes est de 14 × 4 = 56. Le résultat attendu est ainsi démontré.
2. Probabilité de l'évènement P
L'évènement P consiste à tirer une carte de la famille 'prune'. Puisqu'il y a 14 cartes prune sur un total de 56, la probabilité est : P(P) = 14 / 56. En simplifiant par 14, on obtient P(P) = 1/4 (soit 0,25).
3. Évènement contraire
L'évènement contraire de P est 'Jack n'obtient pas une carte de la famille prune'. En termes de probabilité, P(non P) = 1 - P(P) = 1 - 0,25 = 0,75. Cela signifie qu'il y a 75 % de chances de tirer une carte banane, citron ou fraise.
4. Probabilité d'un tirage spécifique
On cherche la probabilité d'obtenir une carte avec quatre fruits. Dans le tableau, on voit qu'il y a 2 cartes '4 fruits' par famille. Pour 4 familles, il y a donc 4 × 2 = 8 cartes favorables. P(4 fruits) = 8 / 56 = 1 / 7 (soit environ 0,14).