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Exercice Première Spécialité - 2019 - Ex 5 : Géométrie du Quadrilatère

1 juin 2019 Troisième (Brevet)

Révise les bases de la géométrie avec cet exercice ! 🎯

Même en Première Spécialité, les propriétés des figures usuelles restent des outils fondamentaux pour la géométrie repérée et le produit scalaire. Cet exercice te permet de :

  • ✅ Maîtriser les propriétés des parallélogrammes.
  • ✅ Utiliser la réciproque de Pythagore pour prouver l'orthogonalité.
  • ✅ Analyser un codage de figure avec précision.

Une révision rapide et efficace pour ne plus jamais confondre rectangle et carré ! 🚀

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Ajouté par Galilee .ac le mardi 27 janvier 2026, 12:16.
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Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet (DNB Asie 2019), constitue un excellent rappel pour les élèves de Première Spécialité sur les fondamentaux de la géométrie plane et de la géométrie repérée. L'objectif est de caractériser un quadrilatère à partir de ses diagonales et de mesures de longueurs données. La figure montre un quadrilatère ABCD dont les diagonales [AC] et [BD] se coupent en O.

Points de vigilance et notions requises

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les propriétés des parallélogrammes particuliers :

  • Rectangle : Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur.
  • Carré : Un rectangle dont les diagonales sont perpendiculaires (ou dont les côtés consécutifs sont égaux).
  • Réciproque de Pythagore : Utilisée pour tester l'orthogonalité au sein d'un triangle.

Guide de résolution détaillé

1. Le quadrilatère est-il un rectangle ?

D'après les codages de la figure, nous observons que le point O est le milieu des segments [AC] et [BD]. Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. De plus, les marques indiquent que OA = OC et OB = OD, mais également que OA = OB. Ainsi, les quatre segments OA, OB, OC et OD sont égaux à 3,5 cm.

On en déduit que AC = BD = 7 cm. Un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle. L'affirmation est donc vraie.

2. Le quadrilatère est-il un carré ?

Pour déterminer si ce rectangle est un carré, nous devons vérifier si ses diagonales sont perpendiculaires, ce qui revient à tester si le triangle OAB est rectangle en O. Appliquons la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle OAB :

  • Côté le plus long : AB² = 5² = 25
  • Somme des carrés des autres côtés : OA² + OB² = 3,5² + 3,5² = 12,25 + 12,25 = 24,5

On constate que AB² ≠ OA² + OB². D'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle OAB n'est pas rectangle en O. Les diagonales ne sont pas perpendiculaires. Par conséquent, ABCD n'est pas un carré.