Analyse de l'énoncé

Cet exercice propose une étude comparative de deux programmes de calcul, une thématique récurrente qui permet de faire le pont entre l'algorithmie procédurale et l'analyse fonctionnelle. Pour un élève de Première Spécialité, cet exercice constitue une excellente révision sur la modélisation algébrique. L'enjeu est de transformer une suite d'instructions en expressions polynomiales du second degré, permettant ainsi d'étudier leurs propriétés (parité, signe, égalité).

Points de vigilance : Notions de cours requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont mobilisées :

• Le développement algébrique : L'utilisation de l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ est cruciale pour simplifier l'expression du Programme A.
• La notion de parité : Comprendre qu'un nombre entier $n$ est pair s'il s'écrit $2k$ et impair s'il s'écrit $2k+1$.
• La manipulation des fractions : Priorités opératoires et mise au même dénominateur.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Étude numérique :
a) Programme A avec 5 : On suit les deux branches. Branche gauche : $5 \times 4 = 20$. Branche droite : $5 - 2 = 3$, puis $3^2 = 9$. Enfin, la somme : $20 + 9 = 29$. L'affirmation est vérifiée.
b) Programme B avec 5 : On calcule $5^2 + 6 = 25 + 6 = 31$.

2. Modélisation du Programme A :
Soit $x$ le nombre de départ. La branche de gauche produit $4x$. La branche de droite produit $(x-2)^2$. Le résultat final est $f(x) = 4x + (x-2)^2$. En développant : $f(x) = 4x + x^2 - 4x + 4$. Les termes en $x$ s'annulent, il reste $f(x) = x^2 + 4$.

3. Modélisation du Programme B :
Le programme B se traduit directement par la fonction $g(x) = x^2 + 6$.

Analyse des affirmations (Vrai/Faux)

a) Affirmation A (Vraie) : Pour $x = \frac{2}{3}$, $g(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^2 + 6 = \frac{4}{9} + \frac{54}{9} = \frac{58}{9}$. L'affirmation est exacte.

b) Affirmation B (Fausse) : Prenons un contre-exemple. Si $x = 2$ (un entier), $g(2) = 2^2 + 6 = 10$. 10 est un nombre pair. L'affirmation est donc fausse.

c) Affirmation C (Vraie) : Pour tout réel $x$, $x^2 \geq 0$. En ajoutant 6, on a $x^2 + 6 \geq 6$. Le résultat est donc toujours strictement positif.

d) Affirmation D (Vraie) : On compare $f(x) = x^2 + 4$ et $g(x) = x^2 + 6$. On remarque que $g(x) = f(x) + 2$. Puisque la différence entre les deux résultats est 2 (un nombre pair), les deux nombres ont nécessairement la même parité. Si $x^2$ est pair, les deux sont pairs ; si $x^2$ est impair, les deux sont impairs.