Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet Polynésie 2019, est une excellente introduction ou révision pour le chapitre des probabilités du programme de Première Spécialité. Il permet de manipuler les concepts fondamentaux de la modélisation aléatoire dans un univers fini. L'objectif est de transformer des informations qualitatives (couleurs) et quantitatives (effectifs, pourcentages) en données probabilistes exploitables. En Première, cette compétence est le socle nécessaire pour aborder les variables aléatoires et les arbres pondérés.

Points de vigilance et notions de cours requises

Pour résoudre cet exercice avec rigueur, l'élève doit maîtriser les points suivants :

• Définition d'une probabilité : Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement A est donnée par le rapport $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.
• Utilisation des pourcentages : Savoir qu'un pourcentage est une proportion de l'effectif total.
• Complémentarité et somme : La somme des effectifs de chaque catégorie doit correspondre à l'effectif total (N = 500 ici).
• Comparaison de proportions : Comprendre que pour comparer deux chances de succès, il faut comparer les probabilités (fractions ou décimaux) et non les effectifs bruts, surtout quand les totaux diffèrent.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Probabilité de piocher un bonbon bleu :
Le paquet contient 500 bonbons au total, dont 150 bleus. En supposant le tirage au hasard (équiprobabilité), on a :
$P(\text{bleu}) = \frac{150}{500} = \frac{15}{50} = \frac{3}{10} = 0,3$.
La probabilité est donc de 0,3 ou 30%.

2. Calcul de l'effectif des bonbons rouges :
On sait que 20 % des bonbons sont rouges. On applique ce taux à l'effectif total :
$\text{Nombre de rouges} = 500 \times \frac{20}{100} = 500 \times 0,2 = 100$.
Il y a 100 bonbons rouges.

3. Comparaison Vert vs Jaune :
Déterminons d'abord le nombre de bonbons jaunes. L'énoncé indique qu'il y a 130 bonbons verts. On soustrait les autres couleurs du total :
$\text{Jaunes} = 500 - (\text{bleus} + \text{rouges} + \text{verts})$
$\text{Jaunes} = 500 - (150 + 100 + 130) = 500 - 380 = 120$.
Puisque $130 > 120$, il y a plus de bonbons verts que de jaunes. Sam a donc plus de chances de piocher un vert ($P(V)=0,26$) qu'un jaune ($P(J)=0,24$).

4. Analyse de l'affirmation d'Aïcha :
Calculons l'effectif total du paquet d'Aïcha : $140 + 100 + 60 + 100 = 400$.
Sa probabilité d'obtenir un bleu est : $P_{Aïcha}(\text{bleu}) = \frac{140}{400} = \frac{14}{40} = \frac{3,5}{10} = 0,35$.
Chez Sam, la probabilité était de 0,30. Comme $0,35 > 0,30$, Aïcha a raison.

Lien avec le programme de Première Spécialité

Ce type d'exercice prépare à la construction de lois de probabilité. En Première, on pourrait aller plus loin en associant une valeur numérique à chaque couleur (par exemple, un gain) et calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. La comparaison entre les deux paquets illustre également la notion de fréquence observée et de distribution de probabilité, des concepts clés pour comprendre la loi binomiale plus tard.