Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente introduction aux problématiques de modélisation rencontrées en Première Spécialité Mathématiques. Il traite de l'évolution de la concentration atmosphérique en CO2, un sujet d'actualité qui permet de lier les mathématiques aux enjeux du développement durable. Pour un élève de Première, cet exercice permet de réviser la modélisation par les suites arithmétiques (sous forme de fonction affine) et l'analyse de données statistiques.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences fondamentales sont mobilisées :

• Lecture graphique : Il faut être attentif à l'échelle des axes. L'origine de l'axe des abscisses est fixée à l'année 1980.
• Modélisation affine : Savoir pourquoi une courbe peut être approchée par une droite sur un intervalle restreint (notion de linéarité locale).
• Validation de modèle : Tester une expression algébrique en remplaçant la variable par des valeurs connues pour vérifier la cohérence avec les données observées.
• Calcul de proportionnalité : Manipuler les pourcentages pour retrouver une valeur totale à partir d'une part connue (Masse totale vs Émissions captées).

Correction détaillée et guide de résolution

1. Détermination graphique : En observant le graphique pour l'année 1995 (soit $x = 15$ sur l'axe des abscisses puisque $1995 - 1980 = 15$), on lit une ordonnée d'environ 360 ppm. Pour l'année 2005 ($x = 25$), on lit environ 380 ppm.

2. Modélisation par une fonction affine :
a. Entre 1995 et 2005, les points du graphique semblent alignés. On peut donc considérer que l'accroissement de la concentration est constant sur cette période, ce qui justifie l'usage d'une fonction affine de type $g(x) = ax + b$.
b. Vérifions les modèles d'Arnold et Billy pour $x = 1995$ :
- Arnold : $g(1995) = 2 \times 1995 - 3630 = 3990 - 3630 = 360$.
- Billy : $g(1995) = 2 \times 1995 - 2000 = 3990 - 2000 = 1990$.
Le modèle d'Arnold correspond exactement à la lecture graphique, c'est donc lui qui modélise le mieux l'évolution.
c. Pour trouver l'année où la concentration atteint 450 ppm, résolvons $2x - 3630 = 450$.
$2x = 450 + 3630$
$2x = 4080$
$x = 2040$. La valeur sera atteinte en 2040.

3. Calcul de la masse M : Les 70 mégatonnes captées représentent 15% des émissions totales. On a donc la relation : $0,15 \times M = 70$. D'où $M = \frac{70}{0,15} \approx 467$ mégatonnes. La France émet environ 467 mégatonnes de CO2 par an.