Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, mobilise des compétences fondamentales pour la classe de 1ère Spécialité, notamment la modélisation algébrique et la compréhension des rapports d'agrandissement-réduction. Il demande d'identifier des transformations géométriques (translation, rotation, homothétie) et de résoudre un problème de géométrie plane impliquant des aires et des proportions.

Points de vigilance et notions requises

• Propriétés des homothéties : Il est crucial de se rappeler que dans une homothétie de rapport k, les aires sont multipliées par k².
• Gestion des ratios : Le ratio 3:2 signifie que si la largeur est x, la longueur est 1,5x.
• Modélisation par le second degré : Le calcul des dimensions mène à une équation de la forme ax² = b, étape clé de la résolution de problèmes du second degré.

Guide de résolution détaillé

1. Transformations géométriques :
a. Le rectangle ③ est l'image du rectangle ④ par la translation qui transforme C en E (glissement vertical).
b. Pour la rotation, en observant le centre F et l'angle de 90° dans le sens horaire, le rectangle ③ est l'image du rectangle ①.
c. Pour l'homothétie, le grand rectangle ABCD est l'image d'un petit rectangle (par exemple le ②) par une homothétie de rapport 3.

2. Calcul de l'aire d'un petit rectangle :
Le rapport de l'homothétie étant k = 3, le rapport des aires est k² = 3² = 9. L'aire d'un petit rectangle est donc : Aire_petit = Aire_ABCD / 9 = 1,215 / 9 = 0,135 m².

3. Calcul des dimensions de ABCD :
Soit l la largeur et L la longueur du rectangle ABCD. On sait que L/l = 3/2, donc L = 1,5l.
L'aire est L × l = 1,215, ce qui donne 1,5l × l = 1,215, soit 1,5l² = 1,215.
On en déduit l² = 1,215 / 1,5 = 0,81. Ainsi, l = √0,81 = 0,9 m.
La longueur est alors L = 1,5 × 0,9 = 1,35 m.