Analyse de l'énoncé : La logique du partage équitable
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, mobilise des compétences fondamentales en arithmétique qui sont indispensables au programme de Première Spécialité, notamment dans le cadre de l'Algorithmie et du raisonnement logique. L'objectif est double : maîtriser la décomposition en produits de facteurs premiers et utiliser ces décompositions pour résoudre un problème de recherche de diviseur commun (PGCD).
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, il est crucial de bien connaître les critères de divisibilité usuels (par 2, 3, 5, 9 et 10). La décomposition en facteurs premiers consiste à écrire un nombre entier comme produit de nombres qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. En Première Spécialité, cette compétence est souvent transposée en informatique, où l'on demande aux élèves de concevoir un script Python capable d'automatiser cette décomposition.
- Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3.
- Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.
- Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs, munis de leur plus petit exposant.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Décomposition en facteurs premiers :
- 69 : On remarque que 6 + 9 = 15, qui est un multiple de 3. Donc 69 = 3 × 23. 23 étant un nombre premier, la décomposition est finie.
- 1150 : Le nombre se termine par 0, il est divisible par 10 (2 × 5). 1150 = 115 × 10. Ensuite, 115 se termine par 5, donc 115 = 5 × 23. Ainsi, 1150 = 2 × 5² × 23.
- 4140 : De même, 4140 = 414 × 10. 414 est pair : 414 = 2 × 207. 207 est divisible par 3 (2+0+7=9) : 207 = 3 × 69. Nous savons que 69 = 3 × 23. En regroupant tout : 4140 = 2² × 3² × 5 × 23.
2. Détermination du nombre de marins :
Le partage doit être équitable et tout le trésor doit être distribué. Le nombre de marins doit donc être un diviseur commun aux trois quantités : 69, 1150 et 4140. Pour trouver ce nombre, nous identifions les facteurs communs dans nos trois décompositions précédentes.
- Facteurs de 69 : {3, 23}
- Facteurs de 1150 : {2, 5, 23}
- Facteurs de 4140 : {2, 3, 5, 23}
Le seul facteur commun aux trois nombres est 23. Par conséquent, il y a 23 marins. Chaque marin recevra 3 diamants (69/23), 50 perles (1150/23) et 180 pièces d'or (4140/23).
Ouverture vers l'Algorithmie
En spécialité mathématiques, ce problème illustre parfaitement l'importance des structures de données. On pourrait imaginer un algorithme de recherche du PGCD de trois nombres en utilisant l'algorithme d'Euclide de manière itérative : PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c). C'est un excellent exercice d'entraînement pour la manipulation des listes et des boucles While.