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Exercice Première Spécialité - 2019 - Ex 4 : Trigonométrie et Géométrie

1 juin 2019 Troisième (Brevet)

Révise la Trigonométrie avec efficacité ! 🚀

Marre des exercices purement théoriques ? Plonge dans cette étude de cas concrète : la modélisation d'un silo à grains ! Cet exercice complet te permet de balayer les fondamentaux indispensables pour réussir en Première Spécialité :

✅ Maîtrise de Pythagore et Thalès en situation réelle.
✅ Utilisation de la trigonométrie pour calculer des inclinaisons.
✅ Calculs de volumes et gestion des unités de masse.

C'est l'entraînement idéal pour solidifier tes bases en géométrie avant d'aborder le produit scalaire. Prêt à relever le défi ? 💪

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Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien que posé initialement dans un cadre de Brevet, constitue une base fondamentale pour la géométrie du plan et de l'espace en Première Spécialité. Il mobilise des compétences de modélisation géométrique à partir d'une situation concrète : le stockage de céréales dans un silo. L'élève doit être capable d'extraire des configurations géométriques simples (triangles rectangles, droites parallèles) d'un schéma complexe. L'enjeu est de jongler entre les calculs de longueurs, d'angles et de volumes, tout en respectant les unités et les arrondis demandés.

Points de vigilance et notions de cours

Pour résoudre cet exercice avec succès, plusieurs notions doivent être parfaitement maîtrisées :

Théorème de Pythagore : Utilisé pour calculer une longueur dans un triangle rectangle lorsque deux côtés sont connus.
Théorème de Thalès : Indispensable pour les calculs de proportions, à condition de justifier au préalable le parallélisme des droites (ici via la perpendicularité commune à une même droite).
Trigonométrie : La définition de la tangente (opposé/adjacent) est ici la plus directe pour déterminer l'inclinaison de l'ascenseur.
Calcul de volume : La formule du cylindre (aire de la base × hauteur) doit être connue par cœur, en faisant attention à ne pas confondre diamètre et rayon.
Conversion : Le passage des kilogrammes aux tonnes (division par 1000) est l'étape finale cruciale pour ne pas perdre de points.

Correction détaillée

1. Calcul de la longueur CM : Dans le triangle CHM rectangle en H, d'après le théorème de Pythagore : CM² = CH² + HM². Soit CM² = 8,5² + 20,4² = 72,25 + 416,16 = 488,41. Ainsi, CM = √488,41 = 22,1 m. La longueur de l'ascenseur est exactement de 22,1 mètres.

2. Calcul de la hauteur EF : Les droites (EF) et (MH) sont perpendiculaires à la même droite (CP), elles sont donc parallèles. D'après le théorème de Thalès dans les triangles CFE et CHM : CF/CH = FE/HM. Soit 2,5 / 8,5 = FE / 20,4. On en déduit FE = (2,5 × 20,4) / 8,5 = 6 m. Le pilier mesure 6 mètres de haut.

3. Angle HCM : Dans le triangle CHM rectangle en H, on a tan(HCM) = HM / CH = 20,4 / 8,5 = 2,4. À l'aide de la calculatrice (Arctan), on trouve l'angle HCM ≈ 67,38°. L'angle arrondi au degré près est donc de 67°.

4. Masse maximale de blé : Le rayon du silo est R = 4,2 / 2 = 2,1 m. Le volume V = π × R² × h = π × 2,1² × 20,4 ≈ 282,65 m³. La masse totale est Masse = Volume × 800 kg/m³ ≈ 282,65 × 800 = 226 120 kg. En tonnes, cela donne environ 226 tonnes (arrondi à l'unité).

Ouverture vers la Première Spécialité

En Première Spécialité, ce type d'exercice peut évoluer vers de la géométrie repérée. On pourrait définir un repère orthonormé d'origine C et utiliser le produit scalaire pour déterminer l'angle entre deux vecteurs ou calculer des distances via les coordonnées des points E, M et P.