Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet Métropole 2019, propose une approche transversale entre les probabilités discrètes et l'algorithmie (simulation de Monte-Carlo). L'objectif est de comparer les chances de victoire de deux joueurs utilisant des dés pipés ou modifiés. En classe de Première Spécialité, ce type d'exercice permet de travailler la notion de variable aléatoire et de comprendre le lien entre la fréquence observée et la probabilité théorique via la Loi des Grands Nombres.
Points de vigilance et notions de cours
- Équiprobabilité : Bien que les dés soient équilibrés mécaniquement, la répartition des valeurs sur les faces ne l'est pas. Il faut ramener chaque probabilité au nombre de faces favorables sur 6.
- Algorithmique : Comprendre le fonctionnement d'un générateur de nombres aléatoires. Ici, l'instruction nombre aléatoire entre 1 et 6 simule un dé classique, que l'on transforme ensuite par une structure conditionnelle (SI... ALORS) pour correspondre au dé modifié.
- Loi des Grands Nombres : Plus le nombre de simulations (ici 60 000) est élevé, plus la fréquence des victoires tend vers la probabilité réelle de gagner.
Guide de résolution détaillé
1. Analyse des issues possibles
Pour le dé A, les faces sont {2, 2, 2, 2, 6, 6}. Pour le dé B, les faces sont {1, 1, 1, 4, 5, 5}. Comme aucun nombre n'est commun aux deux ensembles, la différence entre les résultats ne sera jamais nulle. Le match nul est donc impossible.
2. Calculs de probabilités élémentaires
Si Armelle tire un 2 avec le dé A : Basile gagne si son résultat est supérieur à 2. Sur son dé B, les faces favorables sont {4, 5, 5}, soit 3 faces sur 6. La probabilité est donc de 3/6 = 0,5.
Si Basile tire un 1 avec le dé B : Armelle gagne si son résultat est supérieur à 1. Toutes les faces de A ({2, 6}) sont supérieures à 1. La probabilité est donc de 1 (événement certain).
3. Simulation algorithmique
Le sous-programme de A utilise une condition : si le nombre aléatoire est inférieur à 5 (c'est-à-dire 1, 2, 3 ou 4), la valeur est 2. Cela correspond bien à 4 faces sur 6. Pour la ligne 7, on cherche à compter les victoires de A, donc la condition est : si FaceA > FaceB alors.
Pour le dé B, le sous-programme doit refléter la répartition : 3 faces de '1', 1 face de '4' et 2 faces de '5'.
Structure suggérée :
- Si nombre < 4 : FaceB = 1 (valeurs 1, 2, 3)
- Sinon si nombre < 5 : FaceB = 4 (valeur 4)
- Sinon : FaceB = 5 (valeurs 5, 6).
4. Interprétation des résultats
La fréquence de victoire de A est 39 901 / 60 000 ≈ 0,665, soit environ 67%. Théoriquement, on peut calculer P(A gagne) = P(A=2 et B=1) + P(A=6) = (4/6 * 3/6) + 2/6 = 12/36 + 12/36 = 24/36 = 2/3 ≈ 0,666... La conjecture est donc que la probabilité de victoire d'Armelle est de 2/3.