Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet de Polynésie 2019, porte sur la géométrie de l'espace et les propriétés d'agrandissement-réduction. Bien qu'il s'agisse initialement d'un niveau fin de collège, ces notions sont fondamentales en Première Spécialité pour appréhender les vecteurs, les homothéties et le calcul de distances dans l'espace. L'exercice met en scène deux structures célèbres : la pyramide du Louvre et la pyramide de Khéops. L'enjeu principal est de comprendre comment une modification des dimensions linéaires (le côté de la base) impacte les autres mesures (la hauteur et le volume).
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont requises :
- Le coefficient d'agrandissement (k) : Si une figure est une réduction ou un agrandissement d'une autre, toutes les longueurs sont multipliées par un rapport k.
- Propriétés des aires et volumes : Si les longueurs sont multipliées par k, les aires sont multipliées par k² et les volumes par k³.
- Formule du volume : Le volume d'une pyramide est donné par la formule V = (Aire de la base × Hauteur) / 3.
- Précision des calculs : Il est crucial de ne pas arrondir les résultats intermédiaires trop tôt pour conserver la précision demandée (à l'unité).
Correction détaillée
1. Calcul de la hauteur de la pyramide de Khéops :
Puisque la pyramide du Louvre est une réduction de celle de Khéops, les dimensions sont proportionnelles. Calculons d'abord le rapport d'agrandissement k qui permet de passer du Louvre à Khéops :
k = Côté_Khéops / Côté_Louvre = 230,5 / 35,4 ≈ 6,5113.
La hauteur de Khéops est donc : h = Hauteur_Louvre × k = 21,6 × (230,5 / 35,4) ≈ 140,64 m. On retrouve bien la valeur d'environ 140,6 m.
2. Calcul du volume de la pyramide du Louvre :
La base est un carré de côté 35,4 m. Son aire est B = 35,4 × 35,4 = 1253,16 m².
Le volume est V = (1253,16 × 21,6) / 3 = 9022,752 m³.
Arrondi à l'unité, le volume de la pyramide du Louvre est de 9 023 m³.
3. Coefficient multiplicateur des volumes :
Le rapport pour passer d'un volume à un autre dans une situation d'agrandissement est k³. Nous avons établi que k = 230,5 / 35,4. Le coefficient multiplicateur pour le volume est donc (230,5 / 35,4)³ ≈ 276,38.
Arrondi à l'unité, on peut multiplier le volume du Louvre par 276 pour obtenir celui de Khéops.
Perspectives pour la Première Spécialité
En Première Spécialité, ces concepts de proportionnalité sont étendus à la géométrie analytique. Comprendre que le volume évolue de façon cubique par rapport aux dimensions linéaires permet d'éviter des erreurs classiques dans l'étude des fonctions de puissance et dans les problèmes d'optimisation géométrique. Cet exercice constitue un excellent rappel sur la manipulation des rapports de transformation.