Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu du brevet (DNB 2019), constitue un excellent rappel des notions fondamentales de statistiques descriptives et de calcul de proportions indispensables pour réussir en Première Spécialité. En mathématiques de spécialité, la manipulation des données est un prérequis crucial pour aborder les probabilités et les variables aléatoires. L'exercice se divise en deux parties distinctes : l'application des pourcentages à un contexte de sécurité routière et l'analyse d'une série statistique via un tableur.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences doivent être mobilisées :
- La proportion inverse : Savoir retrouver une valeur totale à partir d'un sous-effectif et de son pourcentage (diviser par le taux).
- La moyenne pondérée : Ne pas oublier de multiplier chaque valeur par son effectif respectif.
- Les paramètres de position et de dispersion : Comprendre la différence entre l'étendue (différence entre max et min) et la médiane (valeur partageant la série en deux).
- Les formules de tableur : Maîtriser la syntaxe classique pour automatiser les calculs (somme, moyenne).
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Analyse des décès :
a. On sait que 1911 représente 55 % du total. Soit $x$ le total. On a $0,55 \times x = 1911$. Ainsi, $x = 1911 / 0,55 \approx 3474,54$. En arrondissant à l'unité, on obtient bien environ 3475 décès.
b. La baisse de 400 vies sauvées sur un total de 3475 représente une baisse de : $(400 / 3475) \times 100 \approx 11,5 \%$.
2. Étude de la série statistique :
a. Moyenne des excès de vitesse : On s'intéresse aux vitesses > 80 km/h. Les valeurs sont 82, 86, 90, 91, 97. L'effectif total des contrevenants est $1 + 7 + 4 + 3 + 6 = 21$.
La somme des vitesses est : $(1 \times 82) + (7 \times 86) + (4 \times 90) + (3 \times 91) + (6 \times 97) = 82 + 602 + 360 + 273 + 582 = 1899$.
Moyenne = $1899 / 21 \approx 90,4$ km/h.
b. Données manquantes (Colonne B) :
L'étendue est de 27 km/h. La vitesse maximale est 97 km/h. Donc la vitesse minimale est $97 - 27 = 70$ km/h (Cellule B1).
Pour la médiane : elle est de 82 km/h. Cela signifie qu'il y a autant de valeurs inférieures ou égales à 82 que de valeurs supérieures ou égales à 82. En testant les effectifs, on trouve que si l'effectif en B2 est de 3, l'effectif total est de 43. La médiane est alors la 22ème valeur. Les effectifs cumulés jusqu'à 79 sont $3+2+10+6 = 21$. La 22ème valeur tombe donc sur le 82.
c. Formule tableur : Dans la cellule K2, on saisit =SOMME(B2:J2) pour calculer l'effectif total des automobilistes.