Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une excellente base de révision pour les élèves de Première Spécialité. Il permet de manipuler les indicateurs de tendance centrale (moyenne, médiane) et les indicateurs de dispersion (étendue) dans un contexte concret de gestion de données. En Première, la compréhension de ces concepts est fondamentale avant d'aborder les variables aléatoires et les lois de probabilités plus complexes.
Points de vigilance et notions requises
Pour résoudre cet exercice, plusieurs définitions du cours de mathématiques doivent être parfaitement maîtrisées :
- L'étendue : C'est la différence entre la valeur la plus haute et la valeur la plus basse de la série.
- La moyenne : Elle se calcule en divisant la somme de toutes les valeurs par l'effectif total. Ici, une moyenne de 11,5 pour 8 élèves implique une somme totale de 92 points (11,5 × 8).
- La médiane : Elle partage la série ordonnée en deux groupes d'effectifs égaux. Pour une série de 8 valeurs (pair), la médiane est la moyenne entre la 4ème et la 5ème valeur.
- Le pourcentage : Savoir calculer 75 % d'un effectif de 8 élèves (soit 6 élèves admis).
Correction détaillée du problème
1. Pourquoi une note de 16 est-elle impossible ?
Analysons l'information sur l'étendue. L'étendue est de 9. Dans la liste connue, la note la plus basse est 6. Si l'une des notes manquantes était 16, l'étendue minimale de la série serait de 16 - 6 = 10 (en supposant que 6 reste la note minimale). Comme l'étendue doit être strictement égale à 9, la note maximale possible ne peut pas dépasser 6 + 9 = 15. La valeur 16 est donc exclue par la contrainte de l'étendue.
2. Les notes peuvent-elles être 12,5 et 13,5 ?
Vérifions si ces deux valeurs respectent toutes les contraintes fournies dans l'énoncé :
- La moyenne : La somme des notes connues est 10 + 13 + 15 + 14,5 + 6 + 7,5 = 66. Si on ajoute 12,5 et 13,5, la somme totale devient 66 + 26 = 92. La moyenne est alors 92 / 8 = 11,5. Cette condition est validée.
- L'étendue : Avec 12,5 et 13,5, le minimum reste 6 et le maximum 15. L'étendue est 15 - 6 = 9. Cette condition est validée.
- Le nombre d'admis : Pour être reçu, il faut avoir ≥ 10. Les notes seraient : 10, 13, 15, 14,5, 6, 7,5, 12,5, 13,5. On compte 6 notes supérieures ou égales à 10. Or 6/8 = 75 %. Cette condition est validée.
- La médiane : Ordonnons la série : 6 ; 7,5 ; 10 ; 12,5 ; 13 ; 13,5 ; 14,5 ; 15. La médiane se situe entre la 4ème valeur (12,5) et la 5ème valeur (13). Médiane = (12,5 + 13) / 2 = 12,75. L'énoncé précise que la médiane doit être de 12. Conclusion : Ce n'est pas possible car la médiane ne correspond pas.