Analyse de l'énoncé et Contexte Mathématique

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2015, mobilise des compétences fondamentales en géométrie repérée et en analyse de fonctions, essentielles pour le programme de Première Spécialité. L'objectif est de traduire des informations visuelles (graphique cartésien) en données numériques exploitables. En classe de première, nous interprétons ces segments de droite comme des fonctions affines par morceaux. Chaque segment possède un coefficient directeur spécifique correspondant à la vitesse moyenne du cycliste sur l'intervalle de temps donné.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs notions doivent être maîtrisées :

• Repérage : Identification précise de l'abscisse (temps en heures) et de l'ordonnée (distance en kilomètres).
• Interpolation linéaire : Lecture de points situés entre les graduations principales.
• Proportionnalité : Reconnaissance graphique d'une situation de proportionnalité (une droite passant par l'origine).
• Vitesse Moyenne : Compréhension que la pente d'un segment est définie par le rapport \(\frac{\Delta d}{\Delta t}\).

Correction Détaillée et Guide de Résolution

1. Lecture Graphique :

• a. Distance totale : Le dernier point marqué sur le graphique se situe à l'abscisse 4,5 heures et à l'ordonnée 190. La distance totale parcourue est donc de 190 km.
• b. Temps pour 100 km : En traçant une ligne horizontale à l'ordonnée 100, on croise le segment reliant les points (2 ; 70) et (3 ; 130). Par lecture graphique, on observe que l'abscisse correspondante est 2,5. Le cycliste a donc mis 2 h 30 min pour parcourir les 100 premiers kilomètres.
• c. Dernière demi-heure : La course se termine à 4,5 h. La distance à 4 h est de 170 km. La distance à 4,5 h est de 190 km. La différence est donc de \(190 - 170 = 20\) km.

2. Analyse de la proportionnalité :

Pour qu'il y ait proportionnalité, la représentation graphique doit être une droite unique passant par l'origine. Or, ici, bien que la courbe passe par l'origine (0 ; 0), elle est constituée de plusieurs segments de pentes différentes (une ligne brisée). Par exemple, entre 0 et 1 h, la vitesse est de 40 km/h, alors qu'entre 1 h et 2 h, elle n'est que de 30 km/h (\(70 - 40 = 30\)). Comme la vitesse n'est pas constante, la distance n'est pas proportionnelle au temps. Physiquement, cela s'explique par les variations du relief (montées, descentes) ou la fatigue du coureur.

Lien avec le programme de Première Spécialité

En Première, on pourrait approfondir cet exercice en calculant le taux de variation sur chaque intervalle. Par exemple, sur l'intervalle [2 ; 3], le taux de variation est de \(\frac{130 - 70}{3 - 2} = 60\) km/h. C'est l'introduction parfaite au concept de dérivation : la vitesse instantanée serait la limite de cette vitesse moyenne sur un intervalle de temps tendant vers zéro.