Analyse de l'énoncé
Cet exercice, extrait du sujet DNB 2019 pour les centres étrangers, porte sur l'analyse de données représentées graphiquement. Bien qu'il soit d'un niveau initial de fin de collège, il constitue une base fondamentale pour le programme de Première Spécialité, notamment pour introduire la notion de taux d'accroissement et de dérivation. L'élève doit être capable de lire des coordonnées dans un repère, d'interpréter des segments de droite (fonctions affines par morceaux) et d'utiliser la relation entre distance, temps et vitesse.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont mobilisées :
- Proportionnalité : Une situation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l'origine. Si la courbe est une ligne brisée, le coefficient de proportionnalité (la vitesse) change.
- Lecture graphique : Attention à bien identifier les unités sur chaque axe. Ici, l'axe des abscisses représente le temps en heures (1,5 cm pour 1h) et l'axe des ordonnées la distance en km (0,3 cm pour 5 km).
- Vitesse moyenne : La formule fondamentale est $v = \frac{d}{t}$. En mathématiques de Première, cela correspond au calcul de la pente de la sécante reliant le point de départ au point d'arrivée sur le graphique.
Correction détaillée
1. Analyse de la proportionnalité
Le graphique ne traduit pas une situation de proportionnalité. En effet, bien que la courbe passe par l'origine $(0,0)$, elle n'est pas une droite unique mais une succession de segments de pentes différentes (une ligne brisée). Le rapport distance/temps n'est donc pas constant tout au long du parcours.
2. Lecture graphique directe
- a. Durée totale : Le dernier point de la courbe a pour abscisse 7. La randonnée a donc duré 7 heures.
- b. Distance totale : L'ordonnée du dernier point est 20. La famille a parcouru 20 km.
- c. Distance à 6h : Pour $x = 6$, on lit sur l'axe des ordonnées $y = 18$. Ils ont parcouru 18 km en 6 heures.
- d. Temps pour 8 km : Pour $y = 8$, on cherche l'abscisse correspondante. On trouve $x = 3$. Il a fallu 3 heures pour parcourir les 8 premiers kilomètres.
- e. Entre la 4e et la 5e heure : Le segment est horizontal entre $x=4$ et $x=5$ (l'ordonnée reste à 15 km). Cela signifie que la distance n'augmente plus : la famille a fait une pause.
3. Étude de la vitesse moyenne
Calculons la vitesse moyenne de la famille sur l'ensemble du parcours :
$V_{moyenne} = \frac{\text{Distance totale}}{\text{Temps total}} = \frac{20}{7} \approx 2,86$ km/h.
Le randonneur expérimenté marche à 4 km/h. Puisque $2,86 < 4$, on en conclut que cette famille n'est pas considérée comme expérimentée selon ce critère.
Lien avec la Première Spécialité
En Première, on étudiera que la pente de chaque segment représente la vitesse instantanée (sur l'intervalle donné). Par exemple, entre la 3e et la 4e heure, la vitesse est de $15 - 8 = 7$ km/h, ce qui est très rapide. La vitesse moyenne, quant à elle, préfigure la notion de taux de variation moyen, concept pilier avant d'aborder la dérivée en un point.