Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales pour le programme de Première Spécialité, notamment en Géométrie repérée et en Trigonométrie. Il s'agit d'identifier les images de figures complexes (hexagones, triangles, quadrilatères) par les transformations classiques du plan : symétrie centrale, symétrie axiale, rotation et translation. En Première, ces notions sont le socle de l'étude des vecteurs, de la colinéarité et de la mesure d'angles orientés.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser les propriétés de conservation des transformations :
- Symétrie centrale : Demi-tour complet autour d'un point ($180^\circ$). Elle préserve les alignements et les milieux.
- Symétrie axiale : Effet miroir par rapport à une droite. Attention à bien identifier l'axe perpendiculaire aux segments reliant les points et leurs images.
- Rotation : Définie par un centre et un angle. Dans un hexagone régulier, chaque triangle équilatéral correspond à une rotation de $60^\circ$ ou $120^\circ$.
- Translation : Glissement défini par un vecteur. Il faut observer le déplacement horizontal et vertical entre deux motifs du pavage.
Correction détaillée
1. Symétrie de centre O : L'image du point C est F, celle de D est A, celle de E est B et O reste invariant. Le quadrilatère CDEO devient donc FABO (Proposition 1).
2. Symétrie d'axe (CF) : L'axe (CF) est horizontal. Le point A, situé au-dessus, se projette symétriquement en E. Le point O appartient à l'axe, il est son propre image. L'image du segment [AO] est donc le segment [EO].
3. Rotation de centre O : La rotation qui transforme OAB en OCD est une rotation de centre O et d'angle $120^\circ$ dans le sens horaire (ou $-120^\circ$). En appliquant cette même rotation au triangle BOC : le point B va en D, le point C va en E et O reste fixe. L'image est le triangle DOE.
4. Translation de l'hexagone 2 vers 12 : En observant le pavage, le passage de 2 à 12 correspond à un glissement d'un rang vers le bas et d'un demi-rang vers la gauche. En appliquant ce même vecteur de translation à l'hexagone 14, on arrive sur l'hexagone 23.