Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales pour la classe de Première Spécialité : le calcul littéral complexe, la manipulation de fonctions affines et le raisonnement probabiliste. Il se présente sous forme de quatre affirmations à valider ou infirmer avec justification, un format classique pour tester la rigueur de l'élève.

Points de vigilance et notions de cours

• Calcul littéral : La reconnaissance des identités remarquables du type a² - b² est cruciale pour gagner du temps sur l'affirmation 4.
• Probabilités : Attention à la définition d'un nombre premier (1 n'est pas premier) et à la comparaison de fractions.
• Fonctions : Ne pas confondre image et antécédent lors de l'évaluation d'une fonction en un point donné.

Correction détaillée

Affirmation 1 : Fausse. Pour additionner des fractions, il faut un dénominateur commun : 3/5 + 1/2 = 6/10 + 5/10 = 11/10. Le calcul proposé (3+1)/(5+2) = 4/7 est une erreur classique de débutant.

Affirmation 2 : Fausse. Calculons l'image de -1 par la fonction f : f(-1) = 5 - 3 * (-1) = 5 + 3 = 8. L'image est 8 et non -2.

Affirmation 3 : Fausse.
Expérience 1 : Les nombres entiers entre 1 et 11 sont au nombre de 11. Les nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11 (soit 5 issues). P1 = 5/11 ≈ 0,45.
Expérience 2 : Un dé à 6 faces possède 3 nombres pairs (2, 4, 6). P2 = 3/6 = 0,5.
Puisque 5/11 < 5,5/11 (0,5), il est moins probable de choisir un nombre premier que d'obtenir un nombre pair.

Affirmation 4 : Vraie. On reconnaît une identité remarquable a² - b² avec a = (2x+1) et b = 2 (car 4 = 2²).
(2x+1)² - 4 = [(2x+1) - 2][(2x+1) + 2] = (2x - 1)(2x + 3). L'égalité est vérifiée pour tout nombre x.