Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet (DNB 2015), constitue une excellente base de révision pour un élève de Première Spécialité. Il sollicite des compétences fondamentales en gestion des grandeurs composées et en analyse dimensionnelle. L'énoncé nous plonge dans l'univers de la course automobile des 24 Heures du Mans, nécessitant l'extraction d'informations depuis plusieurs documents : la distance totale parcourue, la durée de la course, la longueur d'un tour et les facteurs de conversion entre unités anglo-saxonnes (miles) et métriques (kilomètres).
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser les points suivants :
- La relation fondamentale de la vitesse : $v = \frac{d}{t}$. Il est crucial de s'assurer que les unités sont cohérentes (distance en km et temps en heures pour obtenir des km/h).
- La précision des calculs : L'énoncé demande des arrondis spécifiques (à l'unité). Un arrondi prématuré dans les étapes intermédiaires peut fausser le résultat final.
- La conversion d'unités : Passer des miles par heure (mph) aux kilomètres par heure (km/h) nécessite l'utilisation d'un coefficient multiplicateur basé sur la valeur d'un mile en mètres.
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Nombre de tours complets effectués par l'Audi R15+ :
La distance totale parcourue est de $5405,470$ km. La longueur d'un tour est de $13,629$ km. Pour trouver le nombre de tours, on effectue le quotient :
$N = \frac{5405,470}{13,629} \approx 396,615$.
L'énoncé demande le nombre de tours complets, on retient donc la partie entière : 396 tours.
2. Vitesse moyenne de la voiture :
La course dure exactement 24 heures. En utilisant la formule $v = \frac{d}{t}$ :
$v = \frac{5405,470}{24} \approx 225,227$ km/h.
En arrondissant à l'unité, on obtient une vitesse moyenne de 225 km/h.
3. Comparaison de la vitesse des deux voitures :
La voiture n°38 roule à $310$ km/h. Pour comparer, convertissons la vitesse de la voiture n°37 ($205$ mph) en km/h.
On sait que $1 \text{ mile} \approx 1609$ m, soit $1,609$ km.
$v_{37} = 205 \times 1,609 = 329,845$ km/h.
En comparant $329,845$ km/h et $310$ km/h, il apparaît clairement que la voiture n°37 est la plus rapide.
Approfondissement pour la Spécialité Mathématiques
En Première Spécialité, ce type d'exercice peut être modélisé par une suite ou un algorithme simple. Par exemple, on pourrait demander d'écrire une fonction Python qui calcule le nombre de tours en fonction de la distance et de la longueur du circuit, ou qui convertit automatiquement des vitesses. L'aspect 'Algorithmie' réside ici dans la structuration logique des étapes de conversion et de comparaison.