Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet Polynésie 2019, propose une application concrète de la géométrie plane dans le contexte de la navigation à voile. L'objectif est de calculer la longueur totale de deux trajectoires distinctes (Voilier 1 et Voilier 2) reliant un point de départ C à un point d'arrivée A, puis de les comparer. L'énoncé fournit la distance directe AC (5,6 km), une longueur de côté (AB = 4,8 km) et un angle (24°).

Points de vigilance et notions requises

• Théorème de Pythagore : Indispensable pour le triangle ABC, rectangle en B.
• Trigonométrie (SOH CAH TOA) : Utilisée dans le triangle ADC, rectangle en D, pour trouver les longueurs CD et DA à partir de l'hypoténuse et de l'angle.
• Unités et arrondis : Attention à bien arrondir au dixième de kilomètre comme demandé par la consigne.

Correction détaillée

1. Calcul de la trajectoire du voilier 1 (Chemin CBA) :

Le triangle ABC est rectangle en B. Selon le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC². On cherche BC :
BC² = AC² - AB² = 5,6² - 4,8² = 31,36 - 23,04 = 8,32.
BC = √8,32 ≈ 2,88 km.
Distance Voilier 1 = AB + BC = 4,8 + 2,88 = 7,68 km, soit 7,7 km arrondi au dixième.

2. Calcul de la trajectoire du voilier 2 (Chemin CDA) :

Le triangle ADC est rectangle en D. On connaît l'hypoténuse AC = 5,6 km et l'angle ∠ACD = 24°.
Pour CD (côté adjacent) : cos(24°) = CD / AC => CD = 5,6 × cos(24°) ≈ 5,11 km.
Pour DA (côté opposé) : sin(24°) = DA / AC => DA = 5,6 × sin(24°) ≈ 2,28 km.
Distance Voilier 2 = CD + DA = 5,11 + 2,28 = 7,39 km, soit 7,4 km arrondi au dixième.

Conclusion : Le voilier 2 parcourt une distance plus courte (7,4 km) que le voilier 1 (7,7 km).