Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales pour la Première Spécialité. Il traite des transformations géométriques, plus précisément de l'agrandissement-réduction. En Première, la compréhension des rapports de proportionnalité est cruciale, que ce soit pour l'étude des vecteurs, des homothéties ou des calculs de surfaces dans le plan repéré.
Points de vigilance et Rappels de cours
- L'homogénéité des unités : C'est le piège classique. On ne peut pas calculer un rapport entre des mètres et des centimètres sans conversion préalable. Rappel : 1 m = 100 cm.
- Le coefficient de linéarité (k) : Pour trouver le coefficient d'agrandissement, on utilise la formule k = Longueur_Image / Longueur_Initiale. Si k > 1, c'est un agrandissement.
- Le rapport des aires (k²) : C'est la notion la plus importante à ce niveau. Si les longueurs d'une figure sont multipliées par un facteur k, alors son aire est multipliée par k². Cette propriété est universelle pour toutes les formes géométriques.
Guide de résolution détaillé
1. Justification du coefficient k
Pour calculer le coefficient, nous identifions deux segments homologues (correspondants). Ici, nous avons les diagonales AC et GE. Attention aux unités : AC = 80 cm et GE = 1 m = 100 cm.
Le coefficient k est : k = GE / AC = 100 / 80 = 10 / 8 = 1,25. Le coefficient est bien de 1,25.
2. Calcul des longueurs GH et EF
Le quadrilatère EFGH est l'image de ABCD par l'agrandissement de rapport k = 1,25. On applique ce facteur aux côtés correspondants :
- Pour GH : D'après le codage, GH correspond au côté CD qui mesure 60 cm. GH = CD × 1,25 = 60 × 1,25 = 75 cm.
- Pour EF : EF correspond au côté AB. Sur la figure, le côté AB porte le même marquage (double trait) que le côté AD (35 cm). Ainsi, AB = 35 cm. EF = AB × 1,25 = 35 × 1,25 = 43,75 cm.
3. Calcul de l'aire du quadrilatère EFGH
On sait que l'aire d'une figure agrandie est égale à l'aire initiale multipliée par k².
Aire_EFGH = Aire_ABCD × k²
Aire_EFGH = 1950 × (1,25)² = 1950 × 1,5625 = 3046,875 cm².
En arrondissant à l'unité, nous obtenons une aire de 3047 cm².
Conclusion pour la Première Spécialité
En spécialité mathématiques, ce raisonnement sur le carré du rapport se retrouve dans l'étude de la géométrie vectorielle et les produits scalaires lorsqu'on manipule des normes au carré. La rigueur dans la conversion et l'identification des éléments homologues est la clé pour réussir les épreuves de géométrie plus complexes.