Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales indispensables pour réussir en Première Spécialité Mathématiques. Il balaye plusieurs domaines : l'analyse fonctionnelle, les probabilités, l'arithmétique et l'algèbre. Pour un élève de Première, ces questions constituent un test de rapidité et de précision sur les automatismes de calcul.

Points de vigilance et notions de cours

• Fonctions : Bien distinguer l'image de l'antécédent. L'image de $x$ par $f$ est le résultat du calcul $f(x)$.
• Probabilités : Utilisation de l'indépendance des événements (choix de la chemisette et du short). La probabilité d'une intersection d'événements indépendants est le produit des probabilités.
• Puissances : Appliquer la règle $a^n \times a^m = a^{n+m}$. Multiplier par 2 revient à multiplier par $2^1$.
• Arithmétique : Pour infirmer une affirmation universelle, un seul contre-exemple suffit.
• Équations : Maîtriser le passage des termes d'un membre à l'autre en changeant de signe.

Correction détaillée

1. Calcul de l'image :
Pour $f(x) = -6x + 7$, l'image de 3 est $f(3) = -6 \times 3 + 7 = -18 + 7 = -11$.

2. Probabilités :
L'univers comporte $3 \times 2 = 6$ issues possibles (C_verte/S_vert, C_verte/S_bleu, C_bleue/S_vert, etc.). Une seule issue correspond à l'événement « tout en vert » (C_verte et S_vert). La probabilité est donc de $1/6$.

3. Puissances :
Calculons le double de $2^{39}$ : $2 \times 2^{39} = 2^1 \times 2^{39} = 2^{1+39} = 2^{40}$. Ariane a donc raison.

4. PGCD et Arithmétique :
Prenons un nombre pair $n=6$ et un nombre impair $m=9$. Le PGCD(6, 9) est 3. Puisque $3 \neq 1$, l'affirmation de Loïc est fausse.

5. Résolution d'équation :
$5x - 2 = 3x + 7 \iff 5x - 3x = 7 + 2 \iff 2x = 9 \iff x = 4,5$. La solution est 4,5.