Analyse de l'énoncé

Cet exercice se concentre sur l'étude des fonctions de degré 1 : la fonction linéaire $f(x) = 2x$ et la fonction affine $g(x) = -2x + 8$. L'objectif est de faire le pont entre la résolution algébrique (équations) et l'interprétation géométrique (intersections de courbes dans un repère). Bien que ces notions soient abordées dès le collège, elles constituent le socle de l'analyse en Première Spécialité, notamment pour l'étude des variations et des positions relatives de courbes.

Points de vigilance

• Lecture graphique : Ne confondez pas l'axe des abscisses (antécédents $x$) et l'axe des ordonnées (images $y$).
• Représentation de $f$ : La fonction $f$ est linéaire, sa représentation est une droite qui passe impérativement par l'origine du repère $(0,0)$.
• Lien Algèbre-Géométrie : Comprendre que résoudre $f(x) = g(x)$ revient à chercher les abscisses des points d'intersection des deux représentations graphiques.

Correction détaillée

1. Étude de la fonction $g$ :

• a. L'antécédent de 4 par $g$ est la valeur de $x$ telle que $g(x) = 4$. En lisant sur le graphique (ou en utilisant l'expression), on trouve $x = 2$.
• b. Pour compléter le tableau : $g(-2) = -2(-2)+8 = 12$. Pour $g(x)=8$, on a $-2x+8=8 \implies x=0$. Pour $x=4$, $g(4)=0$. Pour $g(x)=-4$, $-2x+8=-4 \implies -2x=-12 \implies x=6$.

2. Étude de la fonction $f$ :

• a. L'image de $-2$ est $f(-2) = 2 imes (-2) = -4$.
• b. $f(3) = 2 imes 3 = 6$.
• c. Pour tracer la droite, utilisez les points $(0,0)$ et $(3,6)$.

3. Intersection : Graphiquement, les deux droites se coupent au point $S$. En projetant ce point sur l'axe horizontal, on lit une abscisse de $2$.

4. Résolution algébrique :

• a. $2x = -2x + 8 \iff 4x = 8 \iff x = 2$.
• b. Le résultat $x=2$ représente l'abscisse du point d'intersection entre la droite représentative de $f$ et celle de $g$.