Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'une base de Diplôme National du Brevet, constitue une base de révision essentielle pour le programme de Première Spécialité Mathématiques. Il traite d'une fonction $f$ définie par une forme factorisée $f(x) = (x - 1)(2x - 5)$. En développant cette expression, on obtient $f(x) = 2x^2 - 7x + 5$, ce qui nous place directement dans le cadre de l'étude des polynômes du second degré. L'exercice articule trois compétences clés : le calcul numérique (image), l'utilisation d'outils numériques (tableur) et la résolution d'équations (recherche de racines).
Points de vigilance et notions de cours
- Forme factorisée : Identifier immédiatement les racines grâce à la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$. Ici, les racines sont lisibles directement.
- Fonction linéaire : Rappeler qu'une fonction linéaire est de la forme $f(x) = ax$. Son graphe est une droite passant par l'origine, ce qui implique $f(0) = 0$.
- Syntaxe Tableur : En Première, la compréhension des formules relatives (ex: B1) est indispensable pour les chapitres sur les suites et les algorithmes.
- Équation produit nul : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Analyse des affirmations :
- Affirmation 1 (Fausse) : Calculons $f(2)$. En remplaçant $x$ par 2 dans $f(x) = (x - 1)(2x - 5)$, on obtient $f(2) = (2 - 1)(2 \times 2 - 5) = 1 \times (4 - 5) = 1 \times (-1) = -1$. Le tableau confirme d'ailleurs cette valeur en colonne D. L'affirmation est donc fausse car $-1 \neq 3$.
- Affirmation 2 (Vraie) : Calculons l'image de 11. $f(11) = (11 - 1)(2 \times 11 - 5) = 10 \times (22 - 5) = 10 \times 17 = 170$. L'affirmation est exacte.
- Affirmation 3 (Fausse) : Une fonction linéaire est de la forme $ax$. Or, $f(0) = 5$. Si la fonction était linéaire, l'image de 0 devrait être 0. De plus, son expression développée $2x^2 - 7x + 5$ montre qu'il s'agit d'un polynôme de degré 2.
2. Formule Tableur :
Dans la cellule B2, on veut calculer l'image du nombre situé dans la cellule B1. La formule doit respecter la structure $(x-1)(2x-5)$. La syntaxe correcte est : =(B1-1)*(2*B1-5).
3. Résolution de l'équation $(x - 1)(2x - 5) = 0$ :
C'est une équation produit nul. Elle se décompose en deux équations du premier degré :
Soit $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$.
Soit $2x - 5 = 0 \Rightarrow 2x = 5 \Rightarrow x = 2,5$.
Les deux nombres sont 1 et 2,5. En Première Spécialité, ces valeurs correspondent aux racines du trinôme, là où la parabole coupe l'axe des abscisses.