Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une base fondamentale pour le programme de Première Spécialité. Il mobilise des compétences clés en calcul littéral, en modélisation algorithmique et en démonstration algébrique. L'objectif est de traduire un programme de calcul en expression mathématique, de manipuler des identités remarquables et de valider des conjectures sur les nombres réels et entiers.

Points de vigilance et notions requises

• Développement et réduction : Savoir développer une expression de type $k(a+b)$ et utiliser les identités remarquables, notamment $(a+b)^2$.
• Équations : Résoudre une équation du premier degré pour retrouver une valeur initiale.
• Logique et contre-exemple : Pour infirmer une affirmation universelle, un seul contre-exemple suffit.
• Arithmétique : Comprendre la notion de multiple (un nombre $n$ est multiple de 8 s'il peut s'écrire $8 imes k$ avec $k$ entier).

Correction détaillée

1. Vérification avec -1 :
Le programme suit ces étapes : $-1 \xrightarrow{\times 4} -4 \xrightarrow{+8} 4 \xrightarrow{\times 2} 8$. Le résultat est bien 8.

2. Remonter le programme :
Pour obtenir 30, on effectue les opérations inverses : $30 \div 2 = 15$, puis $15 - 8 = 7$, enfin $7 \div 4 = 1,75$. Le nombre de départ était 1,75.

3. Égalité des expressions A et B :
Développons $A = 2(4x + 8) = 8x + 16$.
Développons $B = (4 + x)^2 - x^2 = (16 + 8x + x^2) - x^2 = 8x + 16$.
On constate que pour tout réel $x$, $A = B$.

Analyse des affirmations

Affirmation 1 (Fausse) : L'expression est $8x + 16$. Si l'on choisit $x = -10$, le résultat est $8(-10) + 16 = -64$, ce qui est négatif. Le programme ne donne pas toujours un résultat positif.

Affirmation 2 (Vraie) : Si $x$ est un entier, le résultat est $8x + 16$. On peut factoriser par 8 : $8(x + 2)$. Comme $x$ est un entier, $x + 2$ est aussi un entier. Le résultat est donc bien un multiple de 8.