Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège (DNB), mobilise des compétences d'arithmétique qui sont fondamentales pour le cycle terminal, notamment pour l'algorithmique et l'étude des structures numériques en Première Spécialité. L'objectif est d'utiliser la décomposition en facteurs premiers pour identifier des diviseurs communs et optimiser une répartition équitable (calcul du PGCD).

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser :

• La liste des premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17...
• Les critères de divisibilité (par 2, 3 et 9 notamment).
• La définition du PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) comme le produit des facteurs premiers communs munis de leur plus petit exposant.

Correction détaillée

1. Décomposition en facteurs premiers :

• Pour 162 : 162 est pair, donc 162 = 2 × 81. Or 81 = 9 × 9 = 3² × 3² = 3⁴. On a donc : 162 = 2 × 3⁴.
• Pour 108 : 108 = 2 × 54 = 2 × 2 × 27 = 2² × 3³. On a donc : 108 = 2² × 3³.

2. Diviseurs communs supérieurs à 10 :

On cherche des combinaisons de facteurs présents dans les deux décompositions. Les diviseurs communs sont de la forme 2^a × 3^b avec a ≤ 1 et b ≤ 3. Exemples : 18 (2 × 3²), 27 (3³), ou 54 (2 × 3³). Deux diviseurs possibles sont 18 et 27.

3. Problème des barquettes :

• a) Peut-il réaliser 36 barquettes ? Pour cela, 36 doit diviser 162 et 108. Or 162 / 36 = 4,5. Le nombre de nems ne serait pas entier. Réponse : Non.
• b) Nombre maximal de barquettes : Il s'agit de calculer le PGCD(162, 108). D'après les décompositions, PGCD = 2¹ × 3³ = 2 × 27 = 54. Il peut réaliser au maximum 54 barquettes.
• c) Composition : Nombre de nems : 162 / 54 = 3. Nombre de samossas : 108 / 54 = 2. Chaque barquette contiendra 3 nems et 2 samossas.