Analyse de l'énoncé : De la géométrie plane à la géométrie repérée
Cet exercice, bien qu'initialement posé lors du DNB 2018, constitue une excellente base de révision pour le programme de Première Spécialité Mathématiques. Il permet d'aborder les notions de transformations du plan, piliers de la géométrie repérée et du calcul vectoriel. L'exercice demande d'identifier les mécanismes de construction d'une frise complexe à partir d'un motif élémentaire.
1. Construction du motif 2 : La réflexion
Le motif 1 est un triangle $ABC$ isocèle en $C$. Pour obtenir le motif 2, qui est un losange $ACBD$, on doit ajouter un point $D$. La transformation permettant de passer du motif 1 au motif 2 est la symétrie axiale (ou réflexion) d'axe $(AB)$.
En Première Spécialité, on peut justifier cette construction par les propriétés des vecteurs et de l'orthogonalité. Si $ACBD$ est un losange, alors ses diagonales $[AB]$ et $[CD]$ se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires. Le point $D$ est donc l'image du point $C$ par la symétrie d'axe $(AB)$. Cette notion est étroitement liée au chapitre sur le produit scalaire, où l'on utilise l'orthogonalité pour définir des équations de droites et des projetés orthogonaux.
2. Étude de la frise : Translation et Vecteurs
Une frise est une figure géométrique générée par la répétition d'un motif selon une direction donnée. Ici, Gaspard applique une translation de manière répétée. En observant les captures d'écran et le code TikZ fourni, on peut déterminer le vecteur de cette translation.
Dans le code source, le décalage (shift) appliqué à chaque itération est de $(2,5 ; -0,8)$. En faisant le lien avec les coordonnées des points du motif original ($C$ à l'origine, $B$ à $(2,5 ; -0,8)$), on identifie que la translation utilisée est celle de vecteur $\vec{CB}$. Chaque nouveau motif commence là où se situait le sommet $B$ du motif précédent.
Points de vigilance pour la Première Spécialité
- Caractérisation du losange : Un quadrilatère est un losange si ses quatre côtés sont de même longueur ou si ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
- Composition de transformations : La création de la frise est une forme d'algorithmie géométrique. On peut modéliser ce processus par une boucle 'Pour' où, à chaque itération, on applique une translation de vecteur $n \cdot \vec{u}$.
- Repérage : Il est crucial de savoir lire les coordonnées d'un vecteur de translation sur un graphique ou dans un script (type Python ou logiciel de géométrie dynamique).