Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane et en analyse de données essentielles pour le programme de Première Spécialité. La problématique est concrète : vérifier la cohérence entre les dimensions d'un écran (format 16/9), sa diagonale et la distance de recul nécessaire dans un salon. L'élève doit jongler entre calculs algébriques, application du théorème de Pythagore et lecture d'un graphique à deux variables (modélisation de fonctions affines par morceaux).

Points de vigilance et notions requises

• Conversion d'unités : La distance écran-téléspectateur est donnée en mètres (3,20 m), alors que le graphique utilise des centimètres. L'oubli de cette conversion est une erreur classique.
• Proportionnalité : La relation Largeur = 16/9 × Hauteur doit être manipulée avec précision, en gardant si possible les valeurs exactes sous forme de fractions avant le calcul final.
• Théorème de Pythagore : La diagonale d'un rectangle est l'hypoténuse d'un triangle rectangle formé par la largeur et la hauteur.
• Lecture graphique : Savoir identifier l'intervalle de confort (entre la distance minimale et maximale) pour une valeur d'abscisse donnée.

Guide de résolution détaillé

1. Calcul de la largeur de l'écran :
D'après l'énoncé, la hauteur $H = 60$ cm. Le format est 16/9, donc la largeur $L = \frac{16}{9} \times 60 = \frac{16 \times 20}{3} = \frac{320}{3} \approx 106,7$ cm.

2. Calcul de la diagonale de l'écran :
En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle formé par les côtés de l'écran :
$D^2 = L^2 + H^2 = (\frac{320}{3})^2 + 60^2$.
$D^2 = \frac{102400}{9} + 3600 = \frac{102400 + 32400}{9} = \frac{134800}{9}$.
$D = \sqrt{\frac{134800}{9}} = \frac{\sqrt{134800}}{3} \approx 122,4$ cm.

3. Utilisation du graphique :
On cherche l'abscisse correspondant à une diagonale d'environ 122 cm. En remontant verticalement depuis $x = 122$ jusqu'aux deux droites :

• Distance minimale (droite du bas) : Pour 122 cm, on lit environ 190 cm de recul.
• Distance maximale (droite du haut) : Pour 122 cm, on lit environ 420 cm de recul.

4. Conclusion :
La distance dans le salon de Valentin est de 3,20 m, soit 320 cm. Comme 190 < 320 < 420, le recul de Valentin se situe bien dans la zone de confort pour un écran de cette taille. Le choix de Valentin est donc parfaitement adapté.