Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue un excellent test de remédiation pour les élèves de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane et en calcul de taux d'évolution (vitesse). La situation propose de modéliser le parcours d'un coureur de montagne par deux triangles rectangles successifs. L'objectif est de calculer la vitesse ascensionnelle moyenne ($V_a$), définie comme le rapport entre le dénivelé total (m) et le temps (h), pour vérifier si un athlète atteint son objectif de 1400 m/h.
Points de vigilance (Notions de cours requises)
Pour réussir cet exercice, plusieurs points critiques doivent être maîtrisés :
- Le Théorème de Pythagore : Utilisé pour déterminer un côté dans un triangle rectangle quand les deux autres sont connus. Attention à bien isoler le côté recherché (le dénivelé est ici une cathète, pas l'hypoténuse).
- La Trigonométrie (SOH CAH TOA) : Dans la deuxième étape, nous connaissons l'hypoténuse et l'angle. Il faut identifier que le dénivelé correspond au côté opposé à l'angle de 12°, ce qui impose l'usage du sinus.
- Conversions d'unités : C'est le piège classique. La distance est donnée en km (4,1 km = 4100 m) et le temps en minutes (48 min). Pour obtenir une vitesse en m/h, il est impératif de convertir le temps en heures décimales (t = 48/60).
Correction détaillée et Guide de résolution
1. Vérification du dénivelé de la première étape :
On considère un triangle rectangle dont l'hypoténuse (longueur de la pente) est de 3800 m et le côté horizontal est de 3790 m. D'après le théorème de Pythagore :
$Dénivelé_1^2 + 3790^2 = 3800^2$
$Dénivelé_1^2 = 3800^2 - 3790^2 = 14 440 000 - 14 364 100 = 75 900$
$Dénivelé_1 = \sqrt{75 900} \approx 275,5$ m. L'affirmation est donc vérifiée.
2. Calcul du dénivelé de la seconde étape :
Dans le second triangle rectangle, nous connaissons l'hypoténuse ($4,1$ km = 4100 m) et l'angle de pente (12°). Le dénivelé est le côté opposé.
$\sin(12°) = \frac{Dénivelé_2}{4100} \implies Dénivelé_2 = 4100 \times \sin(12°) \approx 852,4$ m.
3. Analyse de la performance :
Le dénivelé total est $H = 275,5 + 852,4 = 1127,9$ m.
Le temps mis est de 48 minutes, soit $T = 48/60 = 0,8$ h.
Calculons la vitesse ascensionnelle : $V_a = \frac{1127,9}{0,8} = 1409,875$ m/h.
Conclusion : 1409,9 > 1400, le coureur atteint donc son objectif de justesse.