Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, extrait du sujet Amérique du Nord 2018, se concentre sur les configurations géométriques de base du plan. Bien qu'initialement posé au niveau collège, il constitue un prérequis indispensable pour le programme de Première Spécialité Mathématiques, notamment pour aborder la géométrie repérée et le produit scalaire. La capacité à démontrer l'orthogonalité et à calculer des distances est au cœur des chapitres sur les vecteurs et les équations de droites.
Points de vigilance et notions de cours requises
Pour résoudre cet exercice avec la rigueur attendue en classe de Première, plusieurs points doivent être maîtrisés :
- La réciproque du théorème de Pythagore : Utilisée pour prouver qu'un triangle est rectangle en vérifiant l'égalité entre le carré du plus long côté et la somme des carrés des deux autres côtés.
- Le théorème de Thalès : Appliqué ici dans une configuration 'en triangle' où deux droites sont parallèles. Il est crucial de bien identifier le sommet commun et l'alignement des points.
- La rédaction mathématique : En Première, la clarté des hypothèses (points alignés, droites parallèles) est aussi importante que le calcul lui-même.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Réalisation de la figure
La figure demande une construction précise. On commence par tracer le segment [AD] de 7 cm. À l'aide d'un compas, on pointe en A (rayon 4,2 cm) et en D (rayon 5,6 cm) pour trouver le point E. On prolonge ensuite les segments pour placer B et C à 9 cm de A.
2. Démontrer que ADE est rectangle en E
Nous étudions les longueurs du triangle ADE :
- Le côté le plus long est AD : $AD^2 = 7^2 = 49$.
- Somme des carrés des autres côtés : $AE^2 + DE^2 = 4,2^2 + 5,6^2 = 17,64 + 31,36 = 49$.
On observe que $AD^2 = AE^2 + DE^2$. D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ADE est rectangle en E. Cette conclusion est fondamentale car elle permettrait, dans un exercice de Première, d'utiliser le point E comme origine d'un repère orthonormé.
3. Calcul de la longueur FG
On se place dans les triangles AFG et ADE. Les points A, F, D sont alignés ainsi que A, G, E. On nous indique que les droites (FG) et (DE) sont parallèles. Selon le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports suivants :
$\frac{AF}{AD} = \frac{AG}{AE} = \frac{FG}{DE}$
En utilisant les valeurs connues : $\frac{2,5}{7} = \frac{FG}{5,6}$. On en déduit par un produit en croix : $FG = \frac{2,5 \times 5,6}{7} = \frac{14}{7} = 2$. La longueur FG est de 2 cm.
Transition vers la Première Spécialité
En Première, cette configuration de Thalès est la base de la colinéarité des vecteurs. On pourrait traduire la situation par l'égalité vectorielle $\vec{AF} = \frac{2,5}{7}\vec{AD}$. De même, l'orthogonalité prouvée en question 2 se traduirait par un produit scalaire nul : $\vec{EA} \cdot \vec{ED} = 0$. Maîtriser ces bases géométriques permet de mieux visualiser les concepts abstraits introduits dans le cycle terminal.