Analyse de l'énoncé

L'exercice propose une étude géométrique classique au sein d'un triangle rectangle, combinant des calculs de longueurs via la trigonométrie et une démonstration sur les triangles semblables. En Première Spécialité, ces notions constituent le socle de la géométrie plane et sont essentielles pour aborder plus tard le produit scalaire. L'enjeu ici est de passer d'une configuration géométrique simple à une compréhension des rapports d'homothétie et de réduction.

Points de vigilance et notions de cours

• Trigonométrie dans le triangle rectangle : Rappelez-vous les formules SOH-CAH-TOA. Ici, dans le triangle ABH rectangle en H, on cherche le côté opposé à l'angle connu alors que l'hypoténuse est donnée.
• Triangles semblables : Deux triangles sont semblables s'ils ont au moins deux angles de même mesure. C'est une condition suffisante qui entraîne la proportionnalité des côtés.
• Coefficient de réduction : Il se calcule en faisant le rapport entre une longueur du triangle image et la longueur correspondante du triangle initial.

Correction détaillée

1. Construction de la figure : Commencez par tracer le segment [AB] de 7 cm. Utilisez un rapporteur pour marquer l'angle de 30° en B. Tracez la perpendiculaire à (AB) passant par A pour obtenir le point C. Enfin, tracez la perpendiculaire à (BC) passant par A pour placer le point H.

2. Démontrer que AH = 3,5 cm : Considérons le triangle ABH. Par définition, H est le pied de la hauteur issue de A, donc le triangle ABH est rectangle en H. Dans ce triangle, l'hypoténuse est [AB] et l'angle $\widehat{ABH} = 30°$.
On utilise le sinus : $\sin(\widehat{ABH}) = \frac{AH}{AB}$.
$\sin(30°) = \frac{AH}{7}$. Or, $\sin(30°) = 0,5$.
Donc $AH = 7 \times 0,5 = 3,5$ cm.

3. Triangles semblables ABC et HAC : Dans le triangle ABC rectangle en A, la somme des angles est de 180°. On a $\widehat{ABC} = 30°$ et $\widehat{BAC} = 90°$, donc $\widehat{ACB} = 180 - (90 + 30) = 60°$.
Dans le triangle HAC rectangle en H, nous avons l'angle $\widehat{ACH}$ qui est le même que $\widehat{ACB}$, soit 60°. L'angle $\widehat{HAC}$ vaut donc $180 - (90 + 60) = 30°$.
Les triangles ABC et HAC possèdent les mêmes angles (30°, 60° et 90°), ils sont donc semblables par le critère Angle-Angle.

4. Coefficient de réduction : Le coefficient $k$ permettant de passer de ABC à HAC est le rapport des côtés homologues. Le côté AH (dans HAC) est opposé à l'angle de 30°, tout comme le côté AB (dans ABC).
$k = \frac{AH}{AB} = \frac{3,5}{7} = 0,5$. Le coefficient de réduction est donc 0,5.