Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2017, constitue un excellent support de révision pour un élève de Première Spécialité Mathématiques. Il permet de travailler la modélisation de grandeurs physiques et la gestion des unités, des compétences transversales indispensables pour réussir les chapitres sur les suites et les fonctions. En mathématiques de spécialité, la capacité à traduire un problème concret en une suite d'opérations logiques est fondamentale pour aborder les problèmes de type 'bac'.
Les points de vigilance et prérequis
Pour réussir cet exercice, plusieurs notions doivent être parfaitement maîtrisées :
- La gestion du temps : C'est l'erreur la plus fréquente. 15 minutes ne correspondent pas à 0,15 heure. Il faut diviser par 60 pour obtenir la valeur décimale (15/60 = 0,25 h). Comme l'arrosage a lieu deux fois par jour (matin et soir), le temps total quotidien est de 0,5 h.
- Le dénombrement des émetteurs : Il ne faut pas oublier de multiplier le nombre de circuits par le nombre d'arroseurs par circuit pour obtenir la flotte totale d'arrosage en fonctionnement simultané.
- La conversion de volume : Le débit est donné en m³ mais le résultat final est attendu en litres. La relation 1 m³ = 1000 L doit être appliquée avec précision en fin de résolution.
Guide de résolution détaillé
La résolution peut être décomposée en quatre étapes structurantes :
1. Calcul du nombre total d'arroseurs : Le système dispose de 12 circuits de 4 arroseurs chacun. On a donc au total : 12 × 4 = 48 arroseurs.
2. Calcul du débit global : Chaque arroseur ayant un débit de 0,4 m³/h, le débit global du système complet est de : 48 × 0,4 = 19,2 m³/h.
3. Détermination de la durée d'utilisation : Le système s'active matin et soir pendant 15 minutes. La durée quotidienne est donc de 30 minutes, soit 0,5 heure (30/60 = 0,5).
4. Calcul du volume mensuel (Juillet) : Le mois de juillet compte 31 jours. On calcule d'abord le volume journalier : 19,2 m³/h × 0,5 h = 9,6 m³ par jour. Ensuite, pour le mois complet : 9,6 m³/jour × 31 jours = 297,6 m³.
5. Conversion finale : On utilise le rappel de l'énoncé (1 m³ = 1000 L). La consommation totale est donc de : 297,6 × 1000 = 297 600 litres.
Lien avec le programme de Première Spécialité : Les Suites
En Première, cet exercice est une introduction parfaite aux suites arithmétiques. Si l'on définit la suite (U_n) comme étant le volume total consommé au bout de n jours, on remarque que U_n = U_{n-1} + 9,6. Il s'agit d'une suite arithmétique de raison r = 9,6. Calculer la consommation du mois de juillet revient à calculer le terme U_{31} avec U_0 = 0. Cette rigueur de notation est ce qui est attendu lors des épreuves de spécialité pour justifier un résultat de modélisation.
Analyse dimensionnelle
Il est conseillé de toujours vérifier la cohérence des unités. Ici, le produit (Nombre d'arroseurs) × (m³/h/arroseur) × (h/jour) × (jours) simplifie les unités pour ne laisser que des m³. Cette habitude de vérification est un atout majeur pour les exercices complexes mêlant plusieurs variables.