Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice, bien que contextualisé dans une épreuve de fin de collège, constitue un socle de révision fondamental pour un élève de Première Spécialité. Il mobilise des compétences de modélisation de grandeurs physiques et de gestion des unités, essentielles en physique-chimie et dans l'étude des fonctions linéaires en mathématiques. L'objectif est de manipuler la relation de proportionnalité entre distance, temps et vitesse : $v = d/t$. La difficulté réside principalement dans la gestion du système sexagésimal (base 60) pour les durées, une compétence souvent source d'erreurs dans les calculs complexes du programme de spécialité.
Points de vigilance : Notions de cours requises
Le point de vigilance majeur concerne la conversion des durées. En mathématiques, on ne peut pas effectuer d'opérations directes sur des heures, minutes et secondes sans une conversion préalable. Une erreur classique serait de considérer que $2\text{ h } 15\text{ min}$ correspond à $2,15$ heures. En réalité, il faut diviser les minutes par 60 pour obtenir une valeur décimale : $15 / 60 = 0,25$, donc $2\text{ h } 15\text{ min} = 2,25\text{ h }$.
- Vitesse moyenne : Elle est le quotient de la distance parcourue par la durée du trajet.
- Unités : Toujours vérifier la cohérence (km et h donnent des km/h ; m et s donnent des m/s).
- Arrondis : Respecter scrupuleusement la consigne (au centième, au mètre près) pour éviter de perdre des points bêtement.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Estimation de l'ordre de grandeur
Pour estimer la vitesse de Dennis Kimetto, on simplifie les données : il parcourt environ $42\text{ km}$ en environ $2\text{ h}$. Sa vitesse est donc proche de $42 / 2 = 21\text{ km/h}$. Parmi les propositions ($5, 10, 20$), l'ordre de grandeur correct est $20\text{ km/h}$.
2. Calcul de la vitesse de Scott Overall
On convertit d'abord la durée en heures décimales : $t = 2 + 15/60 = 2,25\text{ h}$.
On applique la formule : $v = d/t = 42,195 / 2,25$.
Le calcul donne $18,75333...$ En arrondissant au centième comme demandé, la vitesse moyenne est de $18,75\text{ km/h}$.
3. Analyse du temps et de la distance restants
a) Temps restant : Kimetto arrive en $2\text{ h } 02\text{ min } 57\text{ s}$. Overall arrive en $2\text{ h } 15\text{ min } 00\text{ s}$. La différence se calcule par soustraction :
$15\text{ min } 00\text{ s} - 02\text{ min } 57\text{ s} = 12\text{ min } 03\text{ s}$.
Il reste donc 12 minutes et 3 secondes de course à Scott Overall.
b) Distance restante : On utilise la vitesse de Scott ($18,7533...\text{ km/h}$) et on la multiplie par son temps restant converti en heures. $12\text{ min } 03\text{ s} = 723\text{ secondes}$. En heures, cela représente $723 / 3600\text{ h}$.
$d = 18,7533... \times (723 / 3600) \approx 3,76628...\text{ km}$.
Converti en mètres et arrondi à l'unité, Scott Overall est à $3\,766\text{ mètres}$ de l'arrivée.
Prolongement pour la Première Spécialité
Dans un contexte de programmation Python (thème Algorithmie), on pourrait demander d'écrire une fonction qui convertit n'importe quelle durée HMS en secondes, ou encore un script calculant automatiquement la distance restante entre deux athlètes en fonction de leurs vitesses respectives. C'est un excellent exercice pour manipuler les opérateurs de division entière (//) et de modulo (%).