Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'issu d'une session de Brevet, mobilise des compétences fondamentales requises en Première Spécialité Mathématiques. Il sollicite la capacité de l'élève à modéliser un problème par le calcul littéral, à manipuler des fractions, à résoudre des équations du premier et second degré, et à invalider une conjecture par un contre-exemple. Ces compétences constituent le socle nécessaire pour aborder sereinement les chapitres sur les polynômes du second degré et l'algorithmie en Python.

Points de vigilance et notions de cours

• Priorités opératoires : Dans l'affirmation 2, l'erreur classique consiste à effectuer la soustraction avant la multiplication.
• Factorisation et Équations-produits : L'affirmation 3 introduit une équation de type $x^2 - 2x = 0$. En Première, le réflexe doit être la factorisation par $x$ : $x(x-2) = 0$.
• Raisonnement logique : Pour prouver qu'une affirmation est fausse (Affirmation 4), un unique contre-exemple suffit.

Correction Détaillée

Affirmation 1 : Vraie

Appelons $x$ le nombre choisi au départ. Traduisons le programme A en expression algébrique :
1. Ajouter 3 : $x + 3$
2. Multiplier par 2 : $2(x + 3) = 2x + 6$
3. Soustraire le double du nombre de départ : $(2x + 6) - 2x = 6$.
L'expression finale est constante et égale à 6, quel que soit $x$.

Affirmation 2 : Fausse

Calculons $\frac{7}{5} - \frac{4}{5} \times \frac{1}{3}$. La multiplication est prioritaire :
$\frac{4}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{15}$.
On réduit au même dénominateur : $\frac{7 \times 3}{5 \times 3} - \frac{4}{15} = \frac{21}{15} - \frac{4}{15} = \frac{17}{15}$.
$\frac{17}{15} \neq \frac{1}{5}$ (car $\frac{1}{5} = \frac{3}{15}$).

Affirmation 3 : Vraie

Résolvons $4x - 5 = x + 1$ :
$4x - x = 1 + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$.
Vérifions si $x=2$ est solution de $x^2 - 2x = 0$ :
$2^2 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0$. C'est vérifié.

Affirmation 4 : Fausse

Testons pour $n=4$ (qui est bien compris entre 2 et 9) :
$2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.
15 n'est pas un nombre premier car il est divisible par 3 et 5. L'affirmation est donc fausse.