Analyse de l'énoncé

Cet exercice, extrait du sujet Étrangers 2017, se présente sous la forme d'un Vrai/Faux avec justification. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane et en calcul numérique, des notions qui constituent le socle de la Première Spécialité, notamment pour aborder le chapitre sur le produit scalaire et la trigonométrie avancée.

Points de vigilance et notions de cours

• Réciproque du théorème de Pythagore : Utilisée pour prouver l'orthogonalité. En Première Spé, on peut voir cela comme l'annulation du produit scalaire : $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$.
• Trigonométrie dans le triangle rectangle : La relation cosinus (adjacent/hypoténuse) est ici centrale. Il faut veiller à ce que la calculatrice soit en mode Degrés.
• Calcul de proportions : Une attention particulière doit être portée sur l'interprétation de l'énoncé (distinction entre volet individuel et paire de volets).

Correction Détaillée

Affirmation 1 : Vraie
On compare le carré du plus grand côté aux sommes des carrés des deux autres côtés dans le triangle ABC.
$BC^2 = 97^2 = 9409$.
$AB^2 + AC^2 = 65^2 + 72^2 = 4225 + 5184 = 9409$.
Puisque $BC^2 = AB^2 + AC^2$, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. Le menuisier a raison.

Affirmation 2 : Vraie
Le triangle AHC est rectangle en H (H étant le pied de la hauteur issue de C, et H milieu de [AB]).
Dans ce triangle, $\cos(\widehat{CAH}) = \frac{AH}{AC} = \frac{5}{6}$.
En utilisant la calculatrice (touche Arccos), on trouve $\widehat{CAH} \approx 33,6^\circ$.
Cette valeur est bien comprise entre $30^\circ$ et $35^\circ$. Le charpentier respecte la norme.

Affirmation 3 : Fausse
Le peintre a 4 paires de volets, soit $4 \times 2 = 8$ volets au total.
Chaque volet nécessite 3 couches. Il y a donc $8 \times 3 = 24$ passages (ou unités de peinture) à effectuer.
Sachant qu'un passage complet (intérieur/extérieur) pour un volet consomme $1/6$ de pot, la consommation totale est de $24 \times \frac{1}{6} = 4$ pots.
L'affirmation prédisant 2 pots est donc fausse.

Lien avec le programme de Première Spécialité

Bien que cet exercice utilise des outils de collège, il prépare à la géométrie repérée. En Première, on généralise ces calculs d'angles via le produit scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||u|| \cdot ||v|| \cdot \cos(\theta)$. Savoir manipuler les longueurs et les cosinus est un prérequis indispensable pour réussir les chapitres sur les vecteurs et la dérivation trigonométrique.